Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Uzasadnij, że jeśli k jest liczbą nieparzystą 5.0 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`"założenia:"\ \ \ k\ \ -\ \ "liczba nieparzysta"` 

`"teza:"\ \ \ 8|k^2-1` 

`"dowód:"` 

 

`ul("pierwszy sposób")` 

Jeśli k jest liczbą nieparzystą, to możemy oznaczyć:

`k=2n+1\ \ \ (n in C)` 

 

Wtedy:

`k^2-1=(2n+1)^2-1=((2n)^2+2*2n+1^2)-1=4n^2+4n+1-1=4n^2+4n=4n(n+1)` 

 

Otrzymaliśmy iloczyn czwórki oraz dwóch kolejnych liczb całkowitych (n i n+1). Wśród dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna na pewno jest parzysta, a jedna jest nieparzysta. Jeśli więc jedna jest parzysta, to otrzymany iloczyn dzieli się przez 2. Wiemy, że dzieli się także przez 4 (bo mamy czynnik 4), więc cały iloczyn dzieli się przez 2∙4, czyli przez 8. 

 

 

`ul("drugi sposób")` 

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy zapisać:

`k^2-1=k^2-1^2=(k-1)(k+1)`  

Jeśli k było liczbą nieparzystą, to liczba o 1 mniejsza od k oraz liczba o 1 większa od k są dwiema kolejnymi liczbami parzystymi. Co druga liczba parzysta jest podzielna przez 4, więc wśród liczb (k-1) oraz (k+1) jedna liczba jest podzielna przez 2 (bo jest parzysta), a druga jest podzielna przez 4 (bo co druga liczba parzysta dzieli się przez 4). Stąd iloczyn (k-1)(k+1) musi być podzielny przez 2∙4, czyli przez 8.