$a)$  

$A=\left\{x\in \mathbb{R}:\left|x-2\right|+\left|x-4\right|\ge 8\right\}$  

Rozwiążemy nierówność opisującą zbiór A. Musimy rozpatrzeć 3 przypadki. 

 

$1)x\in \left(-\infty ;2\right)$  

$\left|x-2\right|+\left|x-4\right|\ge 8$  

$-\left(x-2\right)-\left(x-4\right)\ge 8$  

$-x+2-x+4\ge 8$  

$-2x+6\ge 8\mid -6$  

$-2x\ge 2\mid :\left(-2\right)$  

$x\le -1$  

Musimy jeszcze zweryfikować otrzymane rozwiązanie z zadanym przedziałem:

$\left(x\le -1\text{i}x\in \left(-\infty ;2\right)\right)\Rightarrow \underline{x\in (-\infty ;-1⟩}$  

 

$2)x\in ⟨2;4)$  

$\left|x-2\right|+\left|x-4\right|\ge 8$  

$x-2-\left(x-4\right)\ge 8$  

$x-2-x+4\ge 8$  

$2\ge 8$  

Powyższa nierówność jest fałszywa, więc w drugim zadanym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.

 

$3)x\in ⟨4;+\infty )$  

$\left|x-2\right|+\left|x-4\right|\ge 8$  

$x-2+x-4\ge 8$  

$2x-6\ge 8\mid +6$  

$2x\ge 14\mid :2$  

$x\ge 7$  

Musimy jeszcze zweryfikować otrzymane rozwiązanie z zadanym przedziałem:

$\left(x\ge 7\text{i}x\in ⟨4;+\infty )\right)\Rightarrow \underline{x\in ⟨7;+\infty )}$  

 

Zbiór A (czyli zbiór rozwiązań nierówności) to suma otrzymanych przedziałów:

$\underline{\underline{A=(-\infty ;-1⟩\cup ⟨7;+\infty )}}$   

 

 

 

Teraz zajmiemy się zbiorem B:

$B=\left\{x\in \mathbb{R}:4\le \left|x+2\right|\le 6\right\}$