Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Wykaż, że jeśli 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`"założenia:"\ \ \ x/y=(1+sqrt5)/2` 

`"teza:"\ \ \ x/y=(x+y)/x` 

`"dowód:"` 

Przekształćmy równość podaną w założeniu tak, aby wyrazić y w zaleśności od x:

`x/y=(1+sqrt5)/2\ \ \ \ |*2` 

`(2x)/y=1+sqrt5\ \ \ \ |*y` 

`2x=y(1+sqrt5)\ \ \ \ \ |:(1+sqrt5)` 

`y=(2x)/(1+sqrt5)` 

 

Rozpiszmy prawą stronę równości z tezy:

`(x+y)/x=(x+(2x)/(1+sqrt5))/x=x/x+((2x)/(1+sqrt5))/x=1+(2x)/(1+sqrt5):x=1+(2x)/(1+sqrt5)*1/x=1+2/(1+sqrt5)=`  

`=(1+sqrt5)/(1+sqrt5)+2/(1+sqrt5)=(3+sqrt5)/(1+sqrt5)=(3+sqrt5)/(1+sqrt5)*(1-sqrt5)/(1-sqrt5)=(3-3sqrt5+sqrt5-5)/(1^2-sqrt5^2)=` 

`=(-2-2sqrt5)/(1-5)=(-2-2sqrt5)/(-4)=(1+sqrt5)/2=x/y` 

Otrzymaliśmy lewą stronę równości z tezy, co kończy dowód.