Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Udowodnij, że dla dowolnych 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Podane liczby są dodatnie, więc bez obaw możemy podnieść nierówność stronami do kwadratu (jeśli liczby są dodatnie, to nierówność zostanie zachowana). 

 

`a)` 

`"założenia:"\ \ \ a,\ b>=0` 

`"teza:"\ \ \ a+b>=2sqrt(ab)` 

`"dowód:"` 

Przypuśćmy, że podana nierówność nie zachodzi, czyli że zachodzi nierówność przeciwna:

`a+b<2sqrt(ab)` 

 

Podnieśmy nierówność stronami do kwadratu: 

`(a+b)^2<(2sqrt(ab))^2` 

`a^2+2ab+b^2<4ab \ \ \ |-4ab` 

`a^2-2ab+b^2<0` 

`(a-b)^2<0` 

Powyższa nierówność jest sprzeczna - kwadrat każdej liczby rzeczywistej (a więc także różnicy liczb a i b) jest nieujemny. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc przyjęta przez nas nierówność jest nieprawdziwa. Oznacza to, że równość z tezy jest prawdziwa. 

 

 

`b)` 

`"założenia:"\ \ \ a,\ b>=0` 

`"teza:"\ \ \ a+b/4>=sqrt(ab)`  

`"dowód:"` 

Przypuśćmy, że podana nierówność nie zachodzi, czyli że zachodzi nierówność przeciwna:

`a+b/4<sqrt(ab)`  

 

Podnieśmy nierówność stronami do kwadratu: 

`(a+b/4)^2<sqrt(ab)^2` 

`a^2+2*a*b/4+b^2/16<ab` 

`a^2+1/2ab+b^2/16<ab\ \ \ \ |*16` 

`16a^2+8ab+b^2<16ab\ \ \ |-16ab` 

`16a^2-8ab+b^2<0` 

`(4a)^2-2*4a*b+b^2<0` 

`(4a-b)^2<0` 

Powyższa nierówność jest sprzeczna - kwadrat każdej liczby rzeczywistej (a więc także różnicy liczb 4a i b) jest nieujemny. Otrzymaliśmy sprzeczność, więc przyjęta przez nas nierówność jest nieprawdziwa. Oznacza to, że równość z tezy jest prawdziwa.