Matematyka

Wyznacz równania prostych zawierających 4.29 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Równania prostych AB, CD, EF, GO odczytujemy z rysunku:  

`"prosta AB:"\ \ \ y=-1`

`"prosta CD:"\ \ \ x=5`

`"prosta EF:"\ \ \ y=3`

`"prosta GO:"\ \ \ x=0`

 

Zapiszmy współrzędne punktów A, B, C, D, E, F, G, O:

`A=(2;\ -1)\ \ \ \ \ B=(3;\ -1)\ \ \ \ \ C=(5;\ 0)\ \ \ \ \ D=(5;\ 2)\ \ \ \ \ E=(3;\ 3)\ \ \ \ \ F=(2;\ 3)\ \ \ \ \ G=(0;\ 2)\ \ \ \ \ O=(0;\ 0)`

 

Równania prostych OA, BC, DE, FG wyznaczymy, podstawiając do równania prostej y=ax+b współrzędne odpowiednich punktów: 

Wyznaczamy równanie prostej OA, korzystając ze współrzędnych punktów O i A: 

`{(0=a*0+b), (-1=a*2+b):}`

`{(b=0),(-1=2a\ \ \ |:2):}`

`{(b=0), (a=-1/2):}`

`"prosta OA:"\ \ \ y=-1/2x`

 

 

Wyznaczamy równanie prostej BC, korzystając ze współrzędnych punktów B oraz C: 

`{(-1=a*3+b), (0=a*5+b\ \ \ |-5a):}`

`{(-1=3a+b), (b=-5a):}`

`{(-1=3a+(-5a)), (b=-5a):}`

`{(-1=-2a\ \ \ |:(-2)), (b=-5a):}`

`{(a=1/2), (b=-5*1/2=-5/2):}`

`"prosta BC:"\ \ \ y=1/2x-5/2`

 

 

Wyznaczymy równanie prostej DE, korzystając ze współrzędnych punktów D oraz E: 

`{(2=a*5+b\ \ \ |*(-1)), (3=a*3+b):}`

`{(-2=-5a-b), (3=3a+b):}\ \ \ |+`

`1=-2a\ \ \ |:(-2)`

`a=-1/2`

Podstawiamy obliczoną wartość a do drugiego równania drugiego układu: 

`3=3*(-1/2)+b`

`3=-3/2+b`

`3=- 1 1/2+b\ \ \ |+1 1/2`

`b=4 1/2`

`"prosta DE:"\ \ \ y=-1/2x+4 1/2`

 

 

Wyznaczymy równanie prostej FG, korzystając ze współrzędnych punktów F oraz G:

`{(3=a*2+b), (0=a*0+b):}`

`{(3=2a+b), (b=0):}`

`{(3=2a\ \ \ |:2), (b=0):}`

`{(a=3/2), (b=0):}`

`"prosta FG:"\ \ \ y=3/2x`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`b)`

`mx-y=0\ \ \ |-mx`

`-y=-mx\ \ \ |*(-1)`

`y=mx`

 

Zauważmy, że powyższa prosta przecina oś OY w punkcie (0; 0), ponieważ w jej równaniu nie ma wyrazu wolnego (b=0). Interesują nas więc tylko przekątne wychodzące z punktu O, czyli przekątne: OB, OC, OD, OE, OF. 

Wyznaczmy równania tych prostych. 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OB podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu B: 

`-1=m*3\ \ \ =>\ \ \ m=-1/3`

 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OC podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu C: 

`0=m*5\ \ \ =>\ \ \ m=0`

 

 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OD podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu D: 

`2=m*5\ \ \ =>\ \ \ m=2/5`

 

 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OE podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu E: 

`3=m*3\ \ \ =>\ \ \ m=3/3=1`

 

 

Wyznaczmy wartość współczynnika m w równaniu prostej OF podstawiając do równania y=mx współrzędne punktu F: 

`3=m*2\ \ \ =>\ \ \ m=3/2`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(m in {-1/3;\ 0;\ 2/5;\ 1;\ 3/2}))`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

Zauważmy, że prosta będzie mieć nieskończenie wiele punktó wspólnych z ośmiokątem, jeśli częścią wspólną prostej i ośmiokąta będzie odcinek. Prosta będzie przechodzić przez punkt (0; 0) - uzasadnialiśmy już w b). Pierwszą "dobrą" sytuacją jest taka, gdy prosta zawiera w sobie odcinek OA:

Wiemy już, że prosta OA ma równanie: 

`y=-1/2x`

Najmniejszym możliwym parametrem m jest więc m=-½.

`ul(ul(m in<<-1/2;\ +infty))`

 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian.

$$P_p$$ -> pole powierzchni

Pole powierzchni prostopadłościanu
 

Każdy prostopadłościan ma 3 pary takich samych ścian.

Pole powierzchni oblicza się z poniższego wzoru, gdzie $$P_1$$, $$P_2$$ i $$P_3$$ to pola ścian prostopadłościanu.

$$P_p=2•P_1+2•P_2+2•P_3$$

Wzór na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać w następującej postaci:
$$P_p = 2•a•b + 2•b•c + 2•a•c$$ (a,b,c - wymiary prostopadłościanu)
 

  Zapamiętaj

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc pole jego powierzchni oblicza się ze wzoru: $$P_p=6•P$$, gdzie P oznacza pole jednej ściany tego sześcianu. Natomiast wzór na pole powierzchni sześcianu możemy zapisać w następującej postaci: $$P_p = 6•a•a = 6•a^2$$ (a - bok sześcianu).

Dzielenie pisemne
  1. Zapisujemy dzielną, nad nią kreskę, a obok, po znaku dzielenia, dzielnik. W naszym przykładzie podzielimy liczbę 1834 przez 14, inaczej mówiąc zbadamy ile razy liczba 14 „mieści się” w liczbie 1834.

    dzielenie1
     
  2. Dzielimy pierwszą cyfrę dzielnej przez dzielnik. Jeśli liczba ta jest mniejsza od dzielnika, to bierzemy pierwsze dwie lub więcej cyfr dzielnej i dzielimy przez dzielnik. Inaczej mówiąc, w dzielnej wyznaczamy taką liczbę, którą można podzielić przez dzielnik. Wynik dzielenia zapisujemy nad kreską, a resztę z dzielenia zapisujemy pod spodem (pod dzielną).

    W naszym przykładzie w dzielnej bierzemy liczbę 18 i dzielimy ją przez 14, czyli sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 18. Liczba 14 zmieści się w 18 jeden raz, jedynkę piszemy nad kreską (nad ostatnią cyfrą liczby 18, czyli nad 8). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 i wynik 14 wpisujemy pod liczbą 18, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 18-14=4 i wynik 4 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać następująco: 18÷14=1 reszty 4.

    dzielenie2
     
  3. Do wyniku odejmowania opisanego w punkcie 2, czyli do otrzymanej reszty z dzielenia dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik. Tak jak poprzednio wynik zapisujemy nad kreską, a pod spodem resztę z tego dzielenia.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: do 4 dopisujemy cyfrę 3 (czyli kolejną cyfrę, która znajduje się za liczbą 18) i otrzymujemy liczbę 43, którą dzielimy przez dzielnik 14. Inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 43. Liczba 14 zmieści się w 43 trzy razy, czyli 3 piszemy nad kreską (za 1), a następnie wykonujemy mnożenie 3•14=42i wynik 42 zapisujemy pod liczbą 43, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 43-42=1 i wynik 1 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać: 43÷14=3 reszty 1.

    dzielenie2
     
  4. Analogicznie jak poprzednio do otrzymanej reszty dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik.
    W naszym przykładzie:
    do 1 dopisujemy ostatnią cyfrę dzielnej, czyli 4. Otrzymujemy liczbę 14, którą dzielimy przez dzielnik 14, w wyniku otrzymujemy 1 i wpisujemy ją nad kreską (po3). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 w wynik 14 zapisujemy pod 14, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 14-14=0.
    Opisane postępowanie możemy zapisać 14÷14=1, czyli otrzymaliśmy dzielenie bez reszty, co kończy nasze dzielenie.

    dzielenie3
     
  5. Wynik dzielenia liczby 1834 przez 14 znajduje się nad kreską, czyli otrzymujemy ostatecznie iloraz 1834÷14=131.

Zobacz także
Udostępnij zadanie