$a)$

Szukamy współczynników a oraz b w równaniu prostej y=ax+b. Wiemy, że szukana prosta jest prostopadła do prostej y=3x+6, więć możemy obliczyć, ile wynosi współczynnik a: 

$a=-\frac{1}{3}$

Szukana prosta ma więc równanie:

$y=-\frac{1}{3}x+b$

 

Wiemy, że dla argumentów większych od 4 prosta przyjmuje wartości ujemne, więc x=4 musi być miejscem zerowym. Możemy więc podstawić te informacje do powyższego równania: 

$0=-\frac{1}{3}\cdot 4+b$  

$0=-\frac{4}{3}+b\mid +\frac{4}{3}$

$b=\frac{4}{3}$

 

Mamy więc równanie prostej: 

$\underline{\underline{y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}}}$

 

 

 

$b)$

Przekształćmy podane równanie prostej równoległej do postaci kierunkowej: 

$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+3=0\mid -\frac{1}{3}x-3$

$\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}x-3\mid \cdot 2$

$y=-\frac{2}{3}x-6$

 

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe, więc szukana prosta ma równanie: 

$y=-\frac{2}{3}x+b$

 

Wiemy, że dla argumentów nie większych niż -6 funkcja osiąga wartości nieujemne, więc wnioskujemy, że x=-6 jest miejscem zerowym. Możemy więc podstawić te informacje do powyższego równania: 

$0=-\frac{2}{{\sout{3}}^1}\cdot \left(-{\sout{6}}^2\right)+b$

$0=4+b\mid -4$

$b=-4$

 

Mamy więc równanie prostej: 

$\underline{\underline{y=-\frac{2}{3}x-4}}$