Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2015

Dla jakiej wartości parametru m 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

`{(2x-3y=5\ \ \ |*2), (-4x+6y=m):}` 

`{(4x-6y=10), (-4x+6y=m):}\ \ \ |+` 

`0=10+m` 

 

Po dodaniu stronami układu równań zniknęły niewiadome x oraz y.

Jeśli powyższa równość będzie prawdziwa, to układ będzie nieoznaczony, a jeśli będzie fałszywa, to układ będzie sprzeczny. 

 

`0=10+m\ \ \ |-10` 

`m=-10` 

 

Możemy zapisać odpowiedź:

 

`{("układ sprzeczny, gdy"\ m in RR\\{-10}), ("układ nieoznaczony, gdy"\ m =-10):}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`  

 

 

`b)` 

`{(3x+2y=1\ \ \ |*(-3)), (mx+3y=6\ \ \ |*2):}` 

`{(-9x-6y=-3), (2mx+6y=12):}\ \ \ \ |+` 

`(-9+2m)x=9` 

 

Chcąc wyznaczyć x z powyższej równości, musimy podzielić przez wyrażenie (-9+2m). Jednak nie można dzielić przez 0, dlatego zapisujemy: 

`-9+2mne0\ \ \ |+9` 

`2mne9\ \ \ |:2` 

`mne9/2` 

Wtedy mamy wzór pozwalający wyliczyć x: 

`x=9/(-9+2m)` 

Podstawiając powyższą zależność do dowolnego równania wyznaczymy y, więc dla m różnych od dziewięciu drugich układ jest oznaczony. Zobaczmy, co by było, gdyby m było równe dziewięć drugich: 

`m=9/2\ \ \ =>\ \ \ {(3x+2y=1\ \ \ |*(-3)), (9/2x+3y=6\ \ \ |*2):}` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(-9x-6y=-3), (9x+6y=12):}\ \ \ |+`   

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=9` 

Układ jest wtedy sprzeczny.

Możemy zapisać odpowiedź: 

`{("układ sprzeczny, gdy"\ m =9/2), ("układ oznaczony, gdy"\ m in RR\\{9/2}):}` 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

 

`c) `

`{(3x+y=m\ \ \ |*(-1)), ((m^2-1)x+y=2):}` 

`{(-3x-y=-m), ((m^2-1)x+y=2):}\ \ \ \ |+` 

`(-3+(m^2-1))x=-m+2` 

`(m^2-4)x=-m+2` 

 

 Chcąc wyznaczyć x z powyższej równości, musimy podzielić przez wyrażenie (m²-4). Jednak nie można dzielić przez 0, dlatego zapisujemy: 

`m^2-4ne0\ \ \ |+4` 

`m^2ne4` 

`mne2\ \ \ "i"\ \ \ mne -2` 

 

Wtedy mamy wzór pozwalający wyliczyć x: 

`x=(-m+2)/(m^2-4)=(-(m-2))/((m-2)(m+2))=(-1)/(m+2)` 

 

Podstawiając powyższą zależność do dowolnego równania wyznaczymy y, więc dla m różnych od 2 i różnych od -2 układ jest oznaczony. Zobaczmy, co by było, gdyby m było równe 2 lub gdyby było równe -2:

`m=2\ \ \ =>\ \ \ {(3x+y=2), ((2^2-1)x+y=2):}` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(3x+y=2), (3x+y=2\ \ \|*(-1)):}` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(3x+y=2), (-3x-y=-2):}\ \ \ |+` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=0` 

Dla m=2 układ jest nieoznaczony.

 

 

`m=-2\ \ \ =>\ \ \ {(3x+y=-2), (((-2)^2-1)x+y=2):}` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(3x+y=-2\ \ \ |*(-1)), (3x+y=2):}` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(-3x-y=2), (3x+y=2):} \ \ \|+` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=4` 

Dla m=-2 układ jest sprzeczny.

 

 

Możemy zapisać odpowiedź: 

`{("układ sprzeczny, gdy"\ m =-2), ("układ nieoznaczony, gdy"\ m =2) ,("układ oznaczony, gdy"\ m in RR\\{-2;\ 2}):}`