Matematyka

Dla jakiej wartości parametru m 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

`{(2x-3y=5\ \ \ |*2), (-4x+6y=m):}`

`{(4x-6y=10), (-4x+6y=m):}\ \ \ |+`

`0=10+m`

 

Po dodaniu stronami układu równań zniknęły niewiadome x oraz y.

Jeśli powyższa równość będzie prawdziwa, to układ będzie nieoznaczony, a jeśli będzie fałszywa, to układ będzie sprzeczny. 

 

`0=10+m\ \ \ |-10`

`m=-10`

 

Możemy zapisać odpowiedź:

 

`{("układ sprzeczny, gdy"\ m in RR\\{-10}), ("układ nieoznaczony, gdy"\ m =-10):}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

 

`b)`

`{(3x+2y=1\ \ \ |*(-3)), (mx+3y=6\ \ \ |*2):}`

`{(-9x-6y=-3), (2mx+6y=12):}\ \ \ \ |+`

`(-9+2m)x=9`

 

Chcąc wyznaczyć x z powyższej równości, musimy podzielić przez wyrażenie (-9+2m). Jednak nie można dzielić przez 0, dlatego zapisujemy: 

`-9+2mne0\ \ \ |+9`

`2mne9\ \ \ |:2`

`mne9/2`

Wtedy mamy wzór pozwalający wyliczyć x: 

`x=9/(-9+2m)`

Podstawiając powyższą zależność do dowolnego równania wyznaczymy y, więc dla m różnych od dziewięciu drugich układ jest oznaczony. Zobaczmy, co by było, gdyby m było równe dziewięć drugich: 

`m=9/2\ \ \ =>\ \ \ {(3x+2y=1\ \ \ |*(-3)), (9/2x+3y=6\ \ \ |*2):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(-9x-6y=-3), (9x+6y=12):}\ \ \ |+`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=9`

Układ jest wtedy sprzeczny.

Możemy zapisać odpowiedź: 

`{("układ sprzeczny, gdy"\ m =9/2), ("układ oznaczony, gdy"\ m in RR\\{9/2}):}`

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

 

 

`c) `

`{(3x+y=m\ \ \ |*(-1)), ((m^2-1)x+y=2):}`

`{(-3x-y=-m), ((m^2-1)x+y=2):}\ \ \ \ |+`

`(-3+(m^2-1))x=-m+2`

`(m^2-4)x=-m+2`

 

 Chcąc wyznaczyć x z powyższej równości, musimy podzielić przez wyrażenie (m²-4). Jednak nie można dzielić przez 0, dlatego zapisujemy: 

`m^2-4ne0\ \ \ |+4`

`m^2ne4`

`mne2\ \ \ "i"\ \ \ mne -2`

 

Wtedy mamy wzór pozwalający wyliczyć x: 

`x=(-m+2)/(m^2-4)=(-(m-2))/((m-2)(m+2))=(-1)/(m+2)`

 

Podstawiając powyższą zależność do dowolnego równania wyznaczymy y, więc dla m różnych od 2 i różnych od -2 układ jest oznaczony. Zobaczmy, co by było, gdyby m było równe 2 lub gdyby było równe -2:

`m=2\ \ \ =>\ \ \ {(3x+y=2), ((2^2-1)x+y=2):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(3x+y=2), (3x+y=2\ \ \|*(-1)):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(3x+y=2), (-3x-y=-2):}\ \ \ |+`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=0`

Dla m=2 układ jest nieoznaczony.

 

 

`m=-2\ \ \ =>\ \ \ {(3x+y=-2), (((-2)^2-1)x+y=2):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(3x+y=-2\ \ \ |*(-1)), (3x+y=2):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(-3x-y=2), (3x+y=2):} \ \ \|+`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0=4`

Dla m=-2 układ jest sprzeczny.

 

 

Możemy zapisać odpowiedź: 

`{("układ sprzeczny, gdy"\ m =-2), ("układ nieoznaczony, gdy"\ m =2) ,("układ oznaczony, gdy"\ m in RR\\{-2;\ 2}):}`

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Odejmowanie ułamków dziesiętnych

Odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym jest bardzo podobne do odejmowania liczb naturalnych:

  1. Ułamki podpisujemy tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem ( cyfra jedności pod cyfrą jedności, cyfra dziesiątek pod cyfrą dziesiątek, cyfra setek pod cyfrą setek itd.);
  2. W miejsce brakujących cyfr po przecinku można dopisać zera;
  3. Ułamki odejmujemy tak jak liczby naturalne, czyli działania prowadzimy od kolumny prawej do lewej i wykonujemy je tak, jak gdyby nie było przecina;
  4. W uzyskanym wyniku stawiamy przecinek tak, aby znajdował się pod napisanymi już przecinkami.

Przykład:

  • $$ 3,41-1,54=? $$
    odejmowanie-ulamkow

    $$ 3,41-1,54=1,87 $$  

Mnożenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000...

Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd. należy przesunąć przecinek w prawo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie przez którą mnożymy (czyli w 10, 100, 1000 itd.).

Przykłady:

  • $$0,253•10= 2,53$$ ← przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo
  • $$3,007•100= 300,7$$ ← przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo
  • $$0,024•1000= 24$$ ← przesuwamy przecinek o trzy miejsca w prawo
Zobacz także
Udostępnij zadanie