Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Rozwiąż nierówność. 4.13 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ x^4+x^3+8x+8<0` 

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x):

`w(x)=x^4+x^3+8x+8` 

Rozkładamy wielomian w(x) na czynniki (grupujemy wyrazy):

`w(x)=x^3(x+1)+8(x+1)=(x^3+8)(x+1)` 

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby -2 oraz 1.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym. Współczynnik przy najwyżej potędze jest liczbą dodatnią (zaczynamy rysować wykres od wartości dodatnich; od prawej strony).

Szkicujemy wykres wielomianu.

Rozwiązaniem równania są:

`x \in (-2;-1)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"b)"\ x^3-2x^2+2x-1>0`  

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x):

`w(x)=x^3-2x^2+2x-1` 

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny jest rózny od 0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1 oraz 1.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1-2+2-1=0` 

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomian w(x) przez x-1.

Wielomian w(x) zapisujemy:

`x^3-2x^2+2x-1=(x-1)(x^2-x+1)` 

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=1-4<0` 

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

`w(x)=(x-1)(x^2-x+1)` 

Pierwiastkiem wielomianu w(x) jest liczba 1. Jest to pierwiastek jednokrotny. 

Współczynnik przy najwyżej potędze jest liczbą dodatnią (zaczynamy rysować wykres od wartości dodatnich; od prawej strony).

Szkicujemy wykres wielomianu.

Rozwiązaniem równania są:

`x \in (1,+oo)`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

`"c)"\ x^3-6x>=x-6` 

`x^3-7x+6>=0`    

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x):

`w(x)=x^3-7x+6` 

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny jest rózny od 0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=-1+7+6!=0` 

`w(1)=1-7+6=0`   

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomian w(x) przez x-1.

Wielomian w(x) zapisujemy:

`x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)` 

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=1+24=25` 

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(-1-5)/2=-3` 

`x_2=(-1+5)/2=2`   

Trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci:

`x^2+x-6=(x+3)(x-2)` 

Wielomian w(x) ma postać:

`w(x)=(x-1)(x+3)(x-2)`  

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby -3, 1 oraz 2. Są to pierwiastki jednokrotne. 

Współczynnik przy najwyżej potędze jest liczbą dodatnią (zaczynamy rysować wykres od wartości dodatnich; od prawej strony).

Szkicujemy wykres wielomianu.

Rozwiązaniem równania są:

`x \in <<-3,1>>\ \cup\ <<2,+oo)`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

`"d)"\ (x-3)(x^2-4)+3x^2<=9x` 

`(x-3)(x^2-4)+3x^2-9x<=0` 

`(x-3)(x^2-4)+3x(x-3)<=0` 

`(x-3)(x^2+3x-4)<=0`    

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x):

`w(x)=(x-3)(x^2+3x-4)` 

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=9+16=25`  

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(-3-5)/2=-4` 

`x_2=(-3+5)/2=1`   

Trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci:

`x^2+3x-4=(x+4)(x-1)` 

Wielomian w(x) ma postać:

`w(x)=(x-3)(x+4)(x-1)`  

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby -4, 1 oraz 3. Są to pierwiastki jednokrotne. 

Współczynnik przy najwyżej potędze jest liczbą dodatnią (zaczynamy rysować wykres od wartości dodatnich; od prawej strony).

Szkicujemy wykres wielomianu.

Rozwiązaniem równania są:

`x \in (-oo,-4>>\ \cup\ <<1,3>>`    

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

`"e)"\ (x-1)^3+2x^2>=4x+1`  

`(x-1)^3+2x^2-4x-1>=0` 

`x^3-3x^2+3x-1+2x^2-4x-1>=0` 

`x^3-x^2-x-2>=0` 

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x):

`w(x)=x^3-x^2-x-2` 

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny jest rózny od 0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -2 to: -1, 1, -2, 2.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=-1-1+1-2!=0`  

`w(1)=1-1-1-2!=0` 

`w(-2)=-8-4+2-2!=0` 

`w(2)=8-4-2-2=0`     

2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomian w(x) przez x-2.

`x^3-x^2-x-2=(x-2)(x^2+x+1)` 

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=1-4<0`   

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wielomian w(x) zapisujemy w postaci:

`w(x)=(x-2)(x^2+x+1)`  

Pierwiastkiem wielomianu w(x) jest liczba 2. Jest to pierwiastek jednokrotny. 

Współczynnik przy najwyżej potędze jest liczbą dodatnią (zaczynamy rysować wykres od wartości dodatnich; od prawej strony).

Szkicujemy wykres wielomianu.

Rozwiązaniem równania są:

`x \in <<2,+oo)`     

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`   

`"f)"\ 2x^3-5x^2-x+6<0` 

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x):

`w(x)=2x^3-5x^2-x+6` 

Wielomian ma współczynniki całkowite, wyraz wolny jest rózny od 0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=-2-5+1+6=7-7=0` 

-1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomian w(x) przez x+1.

Wielomian w(x) zapisujemy:

`2x^3-5x^2-x+6=(x+1)(2x^2-7x+6)`  

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=49-48=1`  

`sqrtDelta=1`  

`x_1=(7-1)/4=3/2`  

`x_2=(7+1)/4=2`   

Trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci:

`2x^2-7x+6=2(x-3/2)(x-2)` 

Wielomian w(x) ma postać:

`w(x)=2(x+1)(x-3/2)(x-2)`  

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby -1, 3/2 oraz 2. Są to pierwiastki jednokrotne. 

Współczynnik przy najwyżej potędze jest liczbą dodatnią (zaczynamy rysować wykres od wartości dodatnich).

Szkicujemy wykres wielomianu.

Rozwiązaniem równania są:

`x \in (-oo,-1)\ \cup\ (3/2,2)`