Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Rozwiąż równanie. 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ x^3-6x^2+11x-6=0` 

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^3-6x^2+11x-6` 

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -6 to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=(-1)^3-6*(-1)^2+11*(-1)-6=-1-6-11-6!=0` 

`w(1)=1^3-6*1^2+11*1-6=1-6+11-6=12-12=0` 

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x-1).

`x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)` 

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=25-24=1` 

`sqrtDelta=1` 

`x_1=(5-1)/2=2` 

`x_2=(5+1)/2=3` 

`x^2-5x+6=(x-2)(x-3)` 

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x-1)(x-2)(x-3)` 

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`(x-1)(x-2)(x-3)=0` 

`x-1=0\ \ vv\ \ x-2=0\ \ vv\ \ x-3=0` 

`x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=3`

Rozwiązaniem równania są liczby: 1, 2 oraz 3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ x^3-6x^2-5x-14=0` 

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^3-6x^2-5x-14` 

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -14 to: -1, 1, -2, 2, -7, 7, -14, 14.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^3-6*1^2-5*1-14=1-6-5-14!=0`  

`w(-1)=(-1)^3-6*(-1)^2-5*(-1)-14=-1-6+5-14!=0` 

`w(2)=2^3-6*2^2-5*2-14=8-24-10-14!=0` 

`w(-2)=(-2)^3-6*(-2)^2-5*(-2)-14=-8-24+10-14!=0` 

`w(7)=7^3-6*7^2-5*7-14=343-294-35-14=0` 

7 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x-7).

`x^3-6x^2-5x-14=(x-7)(x^2+x+2)` 

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=1-8<0` 

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x-7)(x^2+x+2)` 

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`(x-7)(x^2+x+2)=0` 

`x-7=0\ \ vv\ \ x^2+x+2=0` 

`x=7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "brak rozw."`  

Rozwiązaniem równania jest liczba 7.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ x^3+5x^2+8x+6=0`  

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^3+5x^2+8x+6` 

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 6 to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^3+5*1^2+8*1+6=1+5+8+6!=0`   

`w(-1)=(-1)^3+5*(-1)^2+8*(-1)+6=-1+5-8+6!=0` 

`w(-2)=(-2)^3+5*(-2)^2+8*(-2)+6=-8+20-16+6!=0` 

`w(-3)=(-3)^3+5*(-3)^2+8*(-3)+6=-27+45-24+6=-51+51=0`  

-3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x+3).

`x^3+5x^2+8x+6=(x+3)(x^2+2x+2)` 

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=4-8<0` 

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x+3)(x^2+2x+2)` 

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`(x+3)(x^2+2x+2)=0` 

`x+3=0\ \ vv\ \ x^2+2x+2=0` 

`x=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "brak rozw."`  

Rozwiązaniem równania jest liczba -3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ x^3-x^2-3x-9=0`  

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^3-x^2-3x-9` 

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -9 to: -1, 1, -3, 3, -9, 9.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^3-1^2-3*1-9=1-1-3-9!=0`   

`w(-1)=(-1)^3-(-1)^2-3*(-1)-9=-1-1+3-9!=0` 

`w(3)=3^3-3^2-3*3-9=27-9-9-9=0`  

3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x-3).

`x^3-x^2-3x-9=(x-3)(x^2+2x+3)` 

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=4-12<0` 

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x-3)(x^2+2x+3)` 

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`(x-3)(x^2+2x+3)=0` 

`x-3=0\ \ vv\ \ x^2+2x+3=0` 

`x=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "brak rozw."`  

Rozwiązaniem równania jest liczba 3.