Matematyka

Rozwiąż równanie. 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ x^3-6x^2+11x-6=0`

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^3-6x^2+11x-6`

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -6 to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(-1)=(-1)^3-6*(-1)^2+11*(-1)-6=-1-6-11-6!=0`

`w(1)=1^3-6*1^2+11*1-6=1-6+11-6=12-12=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x-1).

`x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=25-24=1`

`sqrtDelta=1`

`x_1=(5-1)/2=2`

`x_2=(5+1)/2=3`

`x^2-5x+6=(x-2)(x-3)`

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x-1)(x-2)(x-3)`

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`(x-1)(x-2)(x-3)=0`

`x-1=0\ \ vv\ \ x-2=0\ \ vv\ \ x-3=0`

`x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=3`

Rozwiązaniem równania są liczby: 1, 2 oraz 3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ x^3-6x^2-5x-14=0`

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^3-6x^2-5x-14`

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -14 to: -1, 1, -2, 2, -7, 7, -14, 14.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^3-6*1^2-5*1-14=1-6-5-14!=0`

`w(-1)=(-1)^3-6*(-1)^2-5*(-1)-14=-1-6+5-14!=0`

`w(2)=2^3-6*2^2-5*2-14=8-24-10-14!=0`

`w(-2)=(-2)^3-6*(-2)^2-5*(-2)-14=-8-24+10-14!=0`

`w(7)=7^3-6*7^2-5*7-14=343-294-35-14=0`

7 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x-7).

`x^3-6x^2-5x-14=(x-7)(x^2+x+2)`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=1-8<0`

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x-7)(x^2+x+2)`

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`(x-7)(x^2+x+2)=0`

`x-7=0\ \ vv\ \ x^2+x+2=0`

`x=7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "brak rozw."`

Rozwiązaniem równania jest liczba 7.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ x^3+5x^2+8x+6=0`

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^3+5x^2+8x+6`

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 6 to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^3+5*1^2+8*1+6=1+5+8+6!=0`

`w(-1)=(-1)^3+5*(-1)^2+8*(-1)+6=-1+5-8+6!=0`

`w(-2)=(-2)^3+5*(-2)^2+8*(-2)+6=-8+20-16+6!=0`

`w(-3)=(-3)^3+5*(-3)^2+8*(-3)+6=-27+45-24+6=-51+51=0`

-3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x+3).

`x^3+5x^2+8x+6=(x+3)(x^2+2x+2)`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=4-8<0`

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x+3)(x^2+2x+2)`

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`(x+3)(x^2+2x+2)=0`

`x+3=0\ \ vv\ \ x^2+2x+2=0`

`x=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "brak rozw."`

Rozwiązaniem równania jest liczba -3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ x^3-x^2-3x-9=0`

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^3-x^2-3x-9`

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -9 to: -1, 1, -3, 3, -9, 9.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1^3-1^2-3*1-9=1-1-3-9!=0`

`w(-1)=(-1)^3-(-1)^2-3*(-1)-9=-1-1+3-9!=0`

`w(3)=3^3-3^2-3*3-9=27-9-9-9=0`

3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x-3).

`x^3-x^2-3x-9=(x-3)(x^2+2x+3)`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=4-12<0`

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x-3)(x^2+2x+3)`

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`(x-3)(x^2+2x+3)=0`

`x-3=0\ \ vv\ \ x^2+2x+3=0`

`x=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "brak rozw."`

Rozwiązaniem równania jest liczba 3.

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Siatka prostopadłościanu

Po rozcięciu powierzchni prostopadłościanu wzdłuż kilku krawędzi i rozłożeniu go na powierzchnię płaską powstanie jego siatka. Jest to wielokąt złożony z prostokątów, czyli ścian graniastosłupa. Ten sam prostopadłościan może mieć kilka siatek.

Siatka prosopadłościanu
Dodawanie ułamków zwykłych
  1. Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$4/7+6/7={10}/7=1 3/7$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku dodania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości (jak w przykładzie powyższym).

    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę (jak w przykładzie poniżej).

  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    • $$3/10+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
       
  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$
       
  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6 + 9/6={23}/6=3 5/6$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+ {1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie