Matematyka

Rozwiąż równanie. 4.22 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ 9x^4-6x^2+1=0`

Możemy wykonać podstawienie: x2=t.

`9t^2-6t+1=0`

Po podstawieniu otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

`Delta=36-4*9*1=36-36=0`

`t=6/18=1/3`

Pamiętamy, że wykonywaliśmy podstawienie, więc:

`x^2=1/3`

Stąd:

`x=1/sqrt3\ \ \ \ vv\ \ \ \ x=-1/sqrt3`

Usuwamy niewymierność z mianownika.

`x=sqrt3/3\ \ \ \ \ \ vv\ \ \ \ x=-sqrt3/3`

Rozwiązaniem równania są liczby -√3/3 oraz √3/3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ x^4-5x^2+4=0`

Możemy wykonać podstawienie: x2=t.

`t^2-5t+4=0`

Po podstawieniu otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

`Delta=25-4*1*4=25-16=9`

`sqrtDelta=sqrt9=3`

`t_1=(5-3)/2=1`

`t_2=(5+3)/2=4`

Pamiętamy, że wykonywaliśmy podstawienie, więc:

`x^2=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ vv \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2=4`

Stąd:

`x=1\ \ vv\ \ x=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=2\ \ vv \ \ \ x=-2`

Rozwiązaniem równania są liczby: -2, -1, 1 oraz 2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ x^4+x^3+x^2-3x=0`

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^4+x^3+x^2-3x=x#underbrace((x^3+x^2+x-3))_("v(x)")`

Wielomian, który otrzymaliśmy po wyłączeniu x ze składników wielomianu oznaczmy jako v(x). 

Współczynniki wielomianu v(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -3 to: -1, 1, -3, 3.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

`v(-1)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)-3=-1+1-1-3!=0`

`v(1)=1^3+1^2+1-3=1+1+1-3=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu v(x), dzielimy wielomian v(x) przez (x-1).

`x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3)`

Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=4-12<0`

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Wielomian v(x) możemy zapisać w postaci:

`v(x)=(x-1)(x^2+2x+3)`

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=x(x-1)(x^2+2x+3)`

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`x(x-1)(x^2+2x+3)=0`

`x=0\ \ vv\ \ x-1=0\ \ vv\ \ "brak pierw."`

` \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ `

Rozwiązaniem równania są liczby: 0 oraz 1.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ x^5-2x^4-6x^3+12x^2=18-9x`

`x^5-2x^4-6x^3+12x^2+9x-18=0`

Wielomian w(x) rozłóżmy na czynniki.

`w(x)=x^5-2x^4-6x^3+12x^2+9x-18`

Współczynniki wielomianu w(x) są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więć skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -18 to: -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6, -9, 9, -18, 18.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(1)=1-2-6+12+9-18!=0`

`w(-1)=-1-2+6+12-9-18!=0`

`w(2)=32-32-48+48+18-18=0`

2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x).

Aby znaleźć kolejne pierwiastki wielomianu w(x), dzielimy wielomian w(x) przez (x-2).

`x^5-2x^4-6x^3+12x^2+9x-18=(x-2)(x^4-6x^2+9)`

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=(x-2)(x^4-6x^2+9)`

Stąd równanie początkowe możemy zapisać w postaci:

`#underbrace((x-2))_("I czynnik")#underbrace((x^4-6x^2+9))_("II czynnik")=0`

`x-2=0\ \ \ \ \ \ \ \ vv\ \ \ \ \ x^4-6x^2+9=0`

`x=2`

 

 W II czynniku wykonajmy podstawienie x2=t.

`t^2-6t+9=0`

`Delta=36-4*1*9=36-36=0`

`t=6/2=3`

Wracamy do podstawienia. Otrzymujemy:

`x^2=3`

`x=sqrt3\ \ \ \ \ \ \ vv\ \ \ \ \ \ \ x=-sqrt3`

Rozwiązaniem równania są liczby: -3, 3 oraz 2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Przykład:

osie liczbowe

Odcinek jednostkowy na tej osi to część prostej między -1 i 0.

Po prawej stronie od 0 znajduje się zbiór liczb nieujemnych, a po lewej zbiór liczb niedodatnich. Grot strzałki wskazuje, że w prawą stronę rosną wartości współrzędnych. Oznacza to, że wśród wybranych dwóch współrzędnych większą wartość ma ta, która leży po prawej stronie (względem drugiej współrzędnej).

Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Zobacz także
Udostępnij zadanie