Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Rozwiąż nierówność f(x) > ... 4.6 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż nierówność f(x) > ...

4
 Zadanie

5
 Zadanie
6
 Zadanie
8
 Zadanie

`"a)"\ f(x)=x^3-4x\ \ \ \ \ g(x)=4x^3+8x^2`

`f(x)>g(x)`

`x^3-4x>4x^3+8x^2`

`x^3-4x-4x^3-8x^2>0`

`-3x^3-8x^2-4x>0`

Wielomian w(x):

`w(x)=-3x^3-8x^2-4x`

rozkładamy na czynniki (mozna wyłączyć -x ze składników wielomianu).

`w(x)=-x(3x^2+8x+4)`

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=64-48=16`

`sqrtDelta=sqrt16=4`

`x_1=(-8-4)/6=-2`

`x_2=(-8+4)/6=-2/3`

`3x^2+8x+4=3(x+2)(x+2/3)`

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=-3x(x+2)(x+2/3)`

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: -2, -2/3 oraz 0.

Każda z liczb jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,-2)\ \cup\ (-2/3,0)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ f(x)=x^4+x^3\ \ \ \ \ g(x)=3x-x^2`

`x^4+x^3>3x-x^2`

`x^4+x^3+x^2-3x>0`

Wielomian w(x):

`w(x)=x^4+x^3+x^2-3x`

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

`w(x)=x(x^3+x^2+x-3)`

Szukamy pierwiastków drugiego czynnika wielomianu w(x), czyli wielomianu v(x)=x3+x2+x-3

Będziemy korzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych (an≠0, a0≠0 oraz współczynniki są liczbami całkowitymi).

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -3 to: -1, 1, -3, 3.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

`v(1)=1^3+1^2+1-3=3-3=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomia v(x) przez (x-1).

`x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3)`

Sprawdźmy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=4-12<0`

 

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=x(x-1)(x^2+2x+3)`

Pierwiastkami wielomianu w(x) sa liczby 0 oraz 1.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,0)\ \cup\ (1,+oo)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ f(x)=2x^3-4x^2+3x\ \ \ \ \ g(x)=x^2`

`2x^3-4x^2+3x>x^2`

`2x^3-4x^2+3x-x^2>0`

`2x^3-5x^2+3x>0`

Wielomian w(x):

`w(x)=2x^3-5x^2+3x`

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

`w(x)=x(2x^2-5x+3)`

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

 

`Delta=25-24=1`

`sqrtDelta=1`

`x_1=(5-1)/4=1`

`x_2=(5+1)/4=3/2`

`2x^2-5x+3=2(x-1)(x-3/2)`

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

`w(x)=2x(x-1)(x-3/2)`

Pierwiastkami wielomianu w(x) sa liczby 0, 1 oraz 3/2.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (0,1)\ \cup\ (3/2,+oo)`

DYSKUSJA
user profile image
Gość

29-10-2017
dzieki!!!!
user profile image
Gość

19-10-2017
Dzieki za pomoc!
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Kolejność wykonywania działań

Przy rozwiązywaniu bardziej skomplikowanego działania, najważniejsze jest zachowanie kolejności wykonywania działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. Wykonywanie działań w nawiasach;

  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie;

  3. Mnożenie i dzielenie (jeżeli w działaniu występuje dzielenie lub zarówno mnożenie, jak i dzielenie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej do prawej strony).
    Przykład: $$16÷2•5=8•5=40$$;

  4. Dodawanie i odejmowanie (jeżeli w działaniu występuje odejmowanie lub zarówno dodawanie, jak i odejmowanie, to działania wykonujemy w kolejności w jakiej są zapisane od lewej strony do prawej).
    Przykład: $$24 - 6 +2 = 18 + 2 = 20$$.

Przykład:

$$(45-9•3)-4=(45-27)-4=18-4=14 $$
 
Jednostki pola

Jednostki pola służą do określenia pola danej figury, mówią nam ile maksymalnie kwadratów jednostkowych mieści się wewnątrz danej figury.

Jednostką pola może być dowolny kwadrat, jednak najczęściej używane są poniżej przedstawione jednostki pola, które ułatwiają przekazywanie informacji o polach figur:

  • $$1 mm^2$$ (milimetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 mm jest równe $$1 mm^2$$
  • $$1 cm^2$$ (centymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 cm jest równe 1 $$cm^2$$
  • $$1 dm^2$$ (decymetr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 dm jest równe $$1 dm^2$$
  • $$1 m^2 $$(metr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 m jest równe $$1 m^2$$
  • $$1 km^2$$ (kilometr kwadratowy) → pole kwadratu o boku 1 km jest równe $$1 km^2$$
  • $$1 a$$ (ar) → pole kwadratu o boku 10 m jest równe 100 $$m^2$$
  • $$1 ha$$ (hektar) → pole kwadratu o boku 100 m jest równe 10000 $$m^2$$

Zależności między jednostkami pola:

  • $$1 cm^2 = 100 mm$$; $$1 mm^2 = 0,01 cm^2$$
  • $$1 dm^2 = 100 cm^2 = 10 000 mm^2$$; $$1 cm^2 = 0,01 dm^2$$
  • $$1 m^2 = 100 dm^2 = 10 000 cm^2 = 1 000 000 mm^2$$; $$1 dm^2 = 0,01 m^2$$
  • $$1 km^2 = 1 000 000 m^2 = 10 000 a = 100 ha$$; $$1 ha = 0,01 km^2$$
  • $$1 a = 100 m^2$$; $$1 m^2 = 0,01 a$$
  • $$1 ha = 100 a = 10 000 m^2$$; $$1 a = 0,01 ha$$

Przykłady wyprowadzania powyższych zależności:

  • $$1 cm^2 = 10mm•10mm=100$$ $$mm^2$$
  • $$1 cm^2 = 0,1dm•0,1dm=0,01$$ $$dm^2$$
  • $$1 km^2 = 1000m•1000m=1000000$$ $$m^2$$
Zobacz także
Udostępnij zadanie