$\text{a)}f\left(x\right)=x^3-4xg\left(x\right)=4x^3+8x^2$

$f\left(x\right)>g\left(x\right)$

$x^3-4x>4x^3+8x^2$

$x^3-4x-4x^3-8x^2>0$

$-3x^3-8x^2-4x>0$

Wielomian w(x):

$w\left(x\right)=-3x^3-8x^2-4x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć -x ze składników wielomianu).

$w\left(x\right)=-x\left(3x^2+8x+4\right)$

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$\Delta =64-48=16$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{16}=4$

$x_1=\frac{-8-4}{6}=-2$

$x_2=\frac{-8+4}{6}=-\frac{2}{3}$

$3x^2+8x+4=3\left(x+2\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w\left(x\right)=-3x\left(x+2\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: -2, -²/₃ oraz 0.

Każda z liczb jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-\frac{2}{3},0\right)$

$\underline{\underline{}}$

$\text{b)}f\left(x\right)=x^4+x^{3}g\left(x\right)=3x-x^2$

$x^4+x^3>3x-x^2$

$x^4+x^3+x^2-3x>0$

Wielomian w(x):

$w\left(x\right)=x^4+x^3+x^2-3x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

$w\left(x\right)=x\left(x^3+x^2+x-3\right)$

Szukamy pierwiastków drugiego czynnika wielomianu w(x), czyli wielomianu v(x)=x³+x²+x-3

Będziemy korzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych (a_n≠0, a₀≠0 oraz współczynniki są liczbami całkowitymi).

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -3 to: -1, 1, -3, 3.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

$v\left(1\right)=1^3+1^2+1-3=3-3=0$

1 jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomian v(x) przez (x-1).

$x^3+x^2+x-3=\left(x-1\right)\left(x^2+2x+3\right)$

Sprawdźmy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$\Delta =4-12<0$

 

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(x^2+2x+3\right)$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby 0 oraz 1.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

$\underline{\underline{}}$

$\text{c)}f\left(x\right)=2x^3-4x^2+3xg\left(x\right)=x^2$

$2x^3-4x^2+3x>x^2$

$2x^3-4x^2+3x-x^2>0$

$2x^3-5x^2+3x>0$

Wielomian w(x):

$w\left(x\right)=2x^3-5x^2+3x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

$w\left(x\right)=x\left(2x^2-5x+3\right)$

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

 

$\Delta =25-24=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

$x_1=\frac{5-1}{4}=1$

$x_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$

$2x^2-5x+3=2\left(x-1\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)$

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w\left(x\right)=2x\left(x-1\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby 0, 1 oraz ³/₂.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(0,1\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$