Rozwiąż nierówność f(x) > ...- Zadanie 4: MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie

$a) f (x) = x^{3} - 4 x g (x) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

$f (x) > g (x)$

$x^{3} - 4 x > 4 x^{3} + 8 x^{2}$

$x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 8 x^{2} > 0$

$- 3 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x > 0$

Wielomian w(x):

$w (x) = - 3 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć -x ze składników wielomianu).

$w (x) = - x (3 x^{2} + 8 x + 4)$

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$Δ = 64 - 48 = 16$

$Δ = 16 = 4$

$x_{1} = \frac{- 8 - 4}{6} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 8 + 4}{6} = - \frac{2}{3}$

$3 x^{2} + 8 x + 4 = 3 (x + 2) (x + \frac{2}{3})$

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w (x) = - 3 x (x + 2) (x + \frac{2}{3})$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: -2, -²/₃ oraz 0.

Każda z liczb jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 2) \cup (- \frac{2}{3}, 0)$

$b) f (x) = x^{4} + x^{3} g (x) = 3 x - x^{2}$

$x^{4} + x^{3} > 3 x - x^{2}$

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - 3 x > 0$

Wielomian w(x):

$w (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} - 3 x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

$w (x) = x (x^{3} + x^{2} + x - 3)$

Szukamy pierwiastków drugiego czynnika wielomianu w(x), czyli wielomianu v(x)=x³+x²+x-3

Będziemy korzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych (a_n≠0, a₀≠0 oraz współczynniki są liczbami całkowitymi).

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -3 to: -1, 1, -3, 3.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

$v (1) = 1^{3} + 1^{2} + 1 - 3 = 3 - 3 = 0$

1 jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomian v(x) przez (x-1).

$x^{3} + x^{2} + x - 3 = (x - 1) (x^{2} + 2 x + 3)$

Sprawdźmy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$Δ = 4 - 12 < 0$

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w (x) = x (x - 1) (x^{2} + 2 x + 3)$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby 0 oraz 1.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w (x) > 0 dla x \in (- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

$c) f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x g (x) = x^{2}$

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x > x^{2}$

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - x^{2} > 0$

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x > 0$

Wielomian w(x):

$w (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

$w (x) = x (2 x^{2} - 5 x + 3)$

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$Δ = 25 - 24 = 1$

$Δ = 1$

$x_{1} = \frac{5 - 1}{4} = 1$

$x_{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 2 (x - 1) (x - \frac{3}{2})$

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w (x) = 2 x (x - 1) (x - \frac{3}{2})$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby 0, 1 oraz ³/₂.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w (x) > 0 dla x \in (0, 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

Justyna Kowal

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie

$a) f (x) = x^{3} - 4 x g (x) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

$f (x) > g (x)$

$x^{3} - 4 x > 4 x^{3} + 8 x^{2}$

$x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 8 x^{2} > 0$

$- 3 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x > 0$

Wielomian w(x):

$w (x) = - 3 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć -x ze składników wielomianu).

$w (x) = - x (3 x^{2} + 8 x + 4)$

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$Δ = 64 - 48 = 16$

$Δ = 16 = 4$

$x_{1} = \frac{- 8 - 4}{6} = - 2$

$x_{2} = \frac{- 8 + 4}{6} = - \frac{2}{3}$

$3 x^{2} + 8 x + 4 = 3 (x + 2) (x + \frac{2}{3})$

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w (x) = - 3 x (x + 2) (x + \frac{2}{3})$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: -2, -²/₃ oraz 0.

Każda z liczb jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w (x) > 0 dla x \in (- \infty, - 2) \cup (- \frac{2}{3}, 0)$

$b) f (x) = x^{4} + x^{3} g (x) = 3 x - x^{2}$

$x^{4} + x^{3} > 3 x - x^{2}$

$x^{4} + x^{3} + x^{2} - 3 x > 0$

Wielomian w(x):

$w (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} - 3 x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

$w (x) = x (x^{3} + x^{2} + x - 3)$

Szukamy pierwiastków drugiego czynnika wielomianu w(x), czyli wielomianu v(x)=x³+x²+x-3

Będziemy korzystać z tw. o pierwiastkach całkowitych (a_n≠0, a₀≠0 oraz współczynniki są liczbami całkowitymi).

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -3 to: -1, 1, -3, 3.

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

$v (1) = 1^{3} + 1^{2} + 1 - 3 = 3 - 3 = 0$

1 jest pierwiastkiem wielomianu v(x).

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, dzielimy wielomian v(x) przez (x-1).

$x^{3} + x^{2} + x - 3 = (x - 1) (x^{2} + 2 x + 3)$

Sprawdźmy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$Δ = 4 - 12 < 0$

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w (x) = x (x - 1) (x^{2} + 2 x + 3)$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby 0 oraz 1.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w (x) > 0 dla x \in (- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

$c) f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x g (x) = x^{2}$

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x > x^{2}$

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - x^{2} > 0$

$2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x > 0$

Wielomian w(x):

$w (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x$

rozkładamy na czynniki (można wyłączyć x ze składników wielomianu).

$w (x) = x (2 x^{2} - 5 x + 3)$

Sprawdzamy czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$Δ = 25 - 24 = 1$

$Δ = 1$

$x_{1} = \frac{5 - 1}{4} = 1$

$x_{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 2 (x - 1) (x - \frac{3}{2})$

Wielomian w(x) możemy zapisać w postaci:

$w (x) = 2 x (x - 1) (x - \frac{3}{2})$

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby 0, 1 oraz ³/₂.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Odczytujemy, dla których argumentów, wielomian przyjmuje wartości dodatnie.

$w (x) > 0 dla x \in (0, 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

Justyna Kowal

Nauczycielka matematyki