$a)f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(x^3-6x+1\right)}^{{}^{\prime }}={\left(x^3\right)}^{{}^{\prime }}-{\left(6x\right)}^{{}^{\prime }}+1^{{}^{\prime }}=3x^2-6=3\left(x^2-2\right)=3\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)$  

Funkcja f ma ekstremum w punktach:

$-\sqrt{2},\sqrt{2}$   

Zauważmy, że:

$\sqrt{2}\notin ⟨-2,0⟩$  

więc w przedziale <-2, 0> funkcja może mieć ekstremum tylko dla x=-√2.

Sprawdźmy wartości dla ekstremum należącego do przedziału i jego krańców:

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-6\cdot \left(-2\right)+1=-8+12+1=5$  

$f\left(-\sqrt{2}\right)={\left(-\sqrt{2}\right)}^3-6\cdot \left(-\sqrt{2}\right)+1=-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}+1=4\sqrt{2}+1$  

$f\left(0\right)=1$

 

$y_{\text{min}}=1\text{dla}x=0$  

$y_{\text{max}}=4\sqrt{2}+1\text{dla}x=-\sqrt{2}$  

 

$b)f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(x^4+4x^3+6\right)}^{{}^{\prime }}={\left(x^4\right)}^{{}^{\prime }}+{\left(4x^3\right)}^{{}^{\prime }}+6^{{}^{\prime }}=4x^3+12x^2=4x^2\left(x+3\right)$  

 

	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-3;0\right)$	$0$	$\left(0;\infty \right)$
$\left(x+3\right)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x^2$	$+$	$+$	$+$	$0$	$+$
znak	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$