$f^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(x^3-3x^2+2\right)}^{{}^{\prime }}={\left(x^3\right)}^{{}^{\prime }}-{\left(3x^2\right)}^{{}^{\prime }}+2^{{}^{\prime }}=3x^2-6x=3x\left(x-2\right)$  

Miejscami zerowymi są liczby 0, 2. Wykres pochodnej funkcji f jest parabolą, zatem oba miejsca zerowe są ekstremami.

 

Maksimum:

$f\left(0\right)=0^3-3\cdot 0+2=2$  

 

Minimum:

$f\left(2\right)=2^3-3\cdot 2^2+2=8-3\cdot 4+2=8-12+2=-2$ $f\left(2\right)=2^3-3\cdot 2^2+2=8-3\cdot 4+2=8-12+2=-2$  

 

Wyznaczymy w każdym przykładzie wartości na krańcach przedziałów:

$a)f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2+2=-1-3+2=-2$  

$f\left(3\right)=3^3-3\cdot 3^2+2=27-3\cdot 9+2=27-27+2=2$  

 

$y_{\text{max}}=2\text{dla}x\in \left\{0,3\right\}$   

$y_{\text{min}}=-2\text{dla}x\in \left\{-1,2\right\}$

 

 

$b)f\left(1\right)=1-3+2=0$  

$f\left(3\right)=2$

 

y_("min") = f(2) = -2

$y\text{(}\max )=f\left(3\right)=2$  

 

 

$c)f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2+2=-1-3+2=-2$  

$f\left(1\right)=1-3+2=0$  

 

$y_{\text{max}}=2\text{dla}x=0$   

$y_{\text{min}}=-2\text{dla}x=-1$