$2x+2y=2p$  

$x+y=p$  

$y=p-x$  

$x,y\in \left(0,p\right)$  

 

a) Funkcja opisująca pole prostokąta o bokach x, y:

$P\left(x\right)=xy=x\cdot \left(p-x\right)=px-x^2$   

$P^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(px-x^2\right)}^{{}^{\prime }}=p-2x$  

Zauważmy, że:

$P^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}p-2x=0$  

$p-2x=0$  

$2x=p$  

$x=\frac{p}{2}$  

Dodatkowo łatwo zauważyć, że:

$x\in \left(0,\frac{p}{2}\right)\text{to}{P}^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0$  

$x\in \left(\frac{p}{2},p\right)\text{to}{P}^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0$

A więc jest to maksimum lokalne a więc pole będzie największe gdy prostokąt będzie kwadratem.

 

$b)d^2=x^2+y^2$  

$d^2=x^2+{\left(p-x\right)}^2=x^2+p^2-2px+x^2=2x^2-2px+p^2$  

$d=\sqrt{2x^2-2px+p^2}$  

 

$d\left(x\right)=\sqrt{2x^2-2px+p^2}$  

Pomocnicza funkcja:

$p\left(x\right)=2x^2-2px+p^2$  

$p^{{}^{\prime }}\left(x\right)={\left(2x^2-2px+p^2\right)}^{{}^{\prime }}={\left(2x^2\right)}^{{}^{\prime }}-{\left(2px\right)}^{{}^{\prime }}+{\left(p^2\right)}^{{}^{\prime }}=4x-2p$  

$p^{{}^{\prime }}\left(x\right)=0\text{gdy}4x-2p=0$  

$4x-2p=0$  

$4x=2p$  

$x=\frac{p}{2}$  

Zauważmy, że:

$x\in \left(0,\frac{p}{2}\right)\text{to}{p}^{{}^{\prime }}\left(x\right)<0$  

$x\in \left(\frac{p}{2},p\right)\text{to}{p}^{{}^{\prime }}\left(x\right)>0$  

 

a więc

$x=\frac{p}{2}$  

to minimum. A więc funkcja d również ma minimum lokalne dla:

$x=\frac{p}{2}$

Zatem również dla przypadku kiedy prostokąt jest kwadratem przekątna jest najkrótsza