$a)$  

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^5+x^3-2x}}<0$  

Najpierw musimy zapisać wielomian w w postaci iloczynowej. 

$w\left(x\right)=x^5+x^3-2x=x\left(x^4+x^2-2\right)$  

Podstawmy:

$x^2=t$  

Zazwyczaj przy podstawieniu x²=t zakładamy, że t jest nieujemne (bo przecież kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny). Należy jednak zwrócić uwagę, że nie rozwiązujemy tutaj równania, a tylko chcemy znaleźć postać iloczynową, więc nie odrzucamy ujemnego t - po wróceniu do x² dla ujemnego t nie otrzymamy pierwiastków z danego nawiasu.  

 

$w\left(x\right)=x\underset{t_2=\frac{-1+3}{2}=1}{\underset{t_1=\frac{-1-3}{2}=-2}{\underset{\sqrt{\Delta }=3}{\underset{=1+8=9}{\underset{\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=}{\underbrace{\left(t^2+t-2\right)}}}}}}=x\left(t+2\right)\left(t-1\right)=x\underset{\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot 2<0}{\underbrace{\left(x^2+2\right)}}\left(x^2-1\right)=x\left(x^2+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)$      

 

Wracamy do nierówności:

$x\left(x^2+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)<0$   

Naszkicujmy wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc rozpoczynamy rysowanie od góry po prawej stronie. Przy pierwiastkach krotności parzystej nie zmieniamy znaku wykresu, a przy pierwiastkach krotności nieparzystej zmieniamy znak wykresu. W tym przypadku wszystkie pierwiastki są krotności nieparzystej (krotności 1). Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. 

Odczytujemy z wykresu zbiór rozwiązań nierówności. 

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(0;1\right)}}$  

 

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$  

 

 

$b)$  

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3+2x^2+2x+1}}>0$  

Najpierw musimy zapisać wielomian w w postaci iloczynowej. 

$w\left(x\right)=x^3+2x^2+2x+1=x^3+1+2x^2+2x$  

Dla sumy pierwszych dwóch składników skorzystamy ze wzoru skróconego mnozenia na sumę sześcianów:

$w\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+2x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1+2x\right)=\left(x+1\right)\underset{\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1<0}{\underbrace{\left(x^2+x+1\right)}}$