Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek musi być dzielnikiem wyrazu wolnego. W każdym przykładzie wypiszemy więc dzielniki wyrazu wolnego i będziemy szukać pośród nich pierwiastków równania. 

 

 

$a)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3-6x^2+5x+6}}=0$

Wyraz wolny jest równy 6. Dzielniki 6 to -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

$w\left(1\right)=1^3-6\cdot 1^2+5\cdot 1+6=$

$=1-6+5+6=6\ne 0$

$w\left(2\right)=2^3-6\cdot 2^2+5\cdot 2+6=$

$=8-6\cdot 4+10+6=$

$=8-24+10+6=0$

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.

 

 

Równanie jest więc postaci: 

$\left(x-2\right)\underset{x_2=2+\sqrt{7}}{\underset{x_1=\frac{4-2\sqrt{7}}{2}=2-\sqrt{7}}{\underset{\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}\cdot \sqrt{7}=2\sqrt{7}}{\underset{=16+12=28}{\underset{\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=}{\underbrace{\left(x^2-4x-3\right)}}}}}}=0$

$\left(x-2\right)\left(x-2+\sqrt{7}\right)\left(x-2-\sqrt{7}\right)=0$

$\underline{\underline{x\in \left\{2-\sqrt{7};2;2+\sqrt{7}\right\}}}$

 

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$

 

 

$b)$

$x^4+2x^3-x^2=6-4x\mid +4x-6$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^4+2x^3-x^2+4x-6}}=0$

Wyraz wolny jest równy -6. Dzielniki -6 to -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

$w\left(1\right)=1^4+2\cdot 1^3-1^2+4\cdot 1-6=$

$=1+2-1+4-6=0$

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

$\left(x-1\right)\left(x^3+3x^2+2x+6\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(x^2\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)\right)=0$