Matematyka

Rozwiąż równanie 4.63 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek musi być dzielnikiem wyrazu wolnego. W każdym przykładzie wypiszemy więc dzielniki wyrazu wolnego i będziemy szukać pośród nich pierwiastków równania. 

 

 

`a)`

`#underbrace(x^3-6x^2+5x+6)_(w(x))=0`

Wyraz wolny jest równy 6. Dzielniki 6 to -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^3-6*1^2+5*1+6=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1-6+5+6=6ne0`

`w(2)=2^3-6*2^2+5*2+6=`

`\ \ \ \ \ \ \ =8-6*4+10+6=`

`\ \ \ \ \ \ \ =8-24+10+6=0`

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.

 

 

Równanie jest więc postaci: 

`(x-2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ 4x\ -\ 3))_(Delta=(-4)^2-4*1*(-3)=))_(=16+12=28))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt7=2sqrt7))_(x_1=(4-2sqrt7)/2=2-sqrt7))_(x_2=2+sqrt7)=0`

`(x-2)(x-2+sqrt7)(x-2-sqrt7)=0`

`ul(ul(x in {2-sqrt7;\ 2;\ 2+sqrt7}))`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`b)`

`x^4+2x^3-x^2=6-4x\ \ \ |+4x-6`

`#underbrace(x^4+2x^3-x^2+4x-6)_(w(x))=0`

Wyraz wolny jest równy -6. Dzielniki -6 to -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4+2*1^3-1^2+4*1-6=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1+2-1+4-6=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1)(x^3+3x^2+2x+6)=0`

`(x-1)(x^2(x+3)+2(x+3))=0`

`(x-1)(x+3)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 3))_(Delta=0^2-4*1*3<0)=0`

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Możemy zapisać rozwiązanie równania. 

`ul(ul(x in {1;\ -3}))`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`c)`

`10x^4+5x^3-1=3x^2-x\ \ \ |-3x^2+x`

`#underbrace(10x^4+5x^3-3x^2+x-1)_(w(x))=0`

 

Wyraz wolny jest równy -1. Dzielniki -1 to -1, 1. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=10*1^4+5*1^3-3*1^2+1-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ =10+5-3+1-1=12ne0`

`w(-1)=10*(-1)^4+5*(-1)^3-3*(-1)^2+(-1)-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =10-5-3-1-1=0`

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1)(10x^3-5x^2+2x-1)=0`

`(x+1)(5x^2(2x-1)+1(2x-1))=0`

`(x+1)(2x-1)(5x^2+1)=0`

`2(x+1)(x-1/2)#underbrace((5x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*5*1<0)=0`

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Możemy zapisać rozwiązanie równania. 

`ul(ul(x in {-1;\ 1/2}))`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`d)`

`2x^4+5x^3-x^2-x=0`

`x#underbrace((2x^3+5x^2-x-1))_(w(x))=0`

Wyraz wolny jest równy -1. Dzielniki -1 to -1, 1. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=2*1^3+5*1^2-1-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ =2+5-1-1=5ne0`

`w(-1)=2*(-1)^3+5*(-1)^2-(-1)-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2+5+1-1=3ne0`

Wielomian w nie ma pierwiastków całkowitych. Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wielomian wymierny x=p/q, (ułamek jest nieskracalny, czyli liczby p i q są względnie pierwsze), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze.  Wyraz przy najwyższej potędze jest równy 2; dzielniki 2 to -2, -1, 1, 2. Poszukajmy pierwiastków wymiernych wielomianu w: 

`w(1/2)=2*(1/2)^3+5*(1/2)^2-1/2-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*1/8+5*1/4-1/2-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =1/4+5/4-2/4-1=`

`\ \ \ \ \ \ \ =6/4-2/4-1=4/4-1=1-1=0`

Liczba 1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`x(x-1/2)(2x^2+6x+2)=0\ \ \ |:2`

`x(x-1/2)#(#(#(#(#underbrace((x^2+3x+1))_(Delta=3^2-4*1*1=))_(=9-4=5))_(sqrtDelta=sqrt5))_(x_1=(-3-sqrt5)/2))_(x_2=(-3+sqrt5)/2)=0`

`x(x-1/2)(x-(-3-sqrt5)/2)(x-(-3+sqrt5)/2)=0`

`ul(ul(x in {0;\ 1/2;\ (-3-sqrt5)/2;\ (-3+sqrt5)/2}))`

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`e)`

`#underbrace(2x^3-7x^2-2x+1)_(w(x))=0`

Wyraz wolny jest równy -1. Dzielniki -1 to -1, 1. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=2*1^3-7*1^2-2*1+1=`

`\ \ \ \ \ \ \ =2-7-2+1=-6ne0`

`w(-1)=2*(-1)^3-7*(-1)^2-2*(-1)+1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2-7+2+1=-6ne0`

Wielomian w nie ma pierwiastków całkowitych. Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wielomian wymierny x=p/q, (ułamek jest nieskracalny, czyli liczby p i q są względnie pierwsze), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze.  Wyraz przy najwyższej potędze jest równy 2; dzielniki 2 to -2, -1, 1, 2. Poszukajmy pierwiastków wymiernych wielomianu w: 

`w(1/2)=2*(1/2)^3-7*(1/2)^2-2*1/2+1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*1/8-7*1/4-1+1=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1/4-7/4=-6/4=-3/2ne0`

`w(-1/2)=2*(-1/2)^3-7*(-1/2)^2-2*(-1/2)+1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2*(-1/8)-7*1/4+1+1=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1/4-7/4+2=-8/4+2=-2+2=0`

Liczba -1/2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+1/2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1/2)(2x^2-8x+2)=0\ \ \ |:2`

`(x+1/2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ 4x\ +\ 1))_(Delta=(-4)^2-4*1*1=))_(=16-4=12))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt3=2sqrt3))_(x_1=(4-2sqrt3)/2=2-sqrt3))_(x_2=2+sqrt3)=0`

`(x+1/2)(x-2+sqrt3)(x-2-sqrt3)=0`

`ul(ul(x in {-1/2;\ 2-sqrt3;\ 2+sqrt3}))`

  

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

`f)`

`x^4+x^3+x^2=x+2\ \ \ |-x-2`

`x^4+x^3+x^2-x-2=0`

`x^4+x^3+x^2-x-1-1=0`

`x^4+x^3+x^2-1-x-1=0`

`x^3(x+1)+x^2-1-1(x+1)=0`

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: 

`x^3(x+1)+(x-1)(x+1)-1(x+1)=0`

Wyciągamy (x+1) przed nawias:

`(x+1)(x^3+(x-1)-1)=0`

`(x+1)(x^3+x-2)=0`

`(x+1)(x^3+2x-x-2)=0`

`(x+1)(x^3-x+2x-2)=0`

Ponownie skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`(x+1)(x(x^2-1)+2(x-1))=0`

`(x+1)(x(x-1)(x+1)+2(x-1))=0`

Wyciągamy (x-1) przed nawias:

`(x+1)(x-1)(x(x+1)+2)=0`

`(x+1)(x-1)#underbrace((x^2+x+2))_(Delta=1^2-4*1*2<0)=0`

 

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie daje pierwiastków. Możemy zapisać rozwiązanie równania. 

`ul(ul(x in {-1;\ 1}))`

 

Oczywiście można rozwiązać równanie w standardowy sposób, co pokażemy poniżej. 

`x^4+x^3+x^2=x+2\ \ \ |-x-2`

`#underbrace(x^4+x^3+x^2-x-2)_(w(x))=0`

 

Wyraz wolny jest równy -2. Dzielniki -2 to -2, -1, 1, 2. Szukamy pośród nich pierwiastków wielomianu w. 

`w(1)=1^4+1^3+1^2-1-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1+1+1-1-2=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1)#underbrace((x^3+2x^2+3x+2))_(u(x))=0`

Pośród dzielników 2 szukamy pierwiastków całkowitych wielomianu u: 

`u(-1)=(-1)^3+2*(-1)^2+3*(-1)+2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-1+2-3+2=0`

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1)(x+1)#underbrace((x^2+x+2))_(Delta=1^2-4*1*2<0)=0`

`ul(ul(x in {1;\ -1}))`

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie pisemne
  1. Zapisujemy dzielną, nad nią kreskę, a obok, po znaku dzielenia, dzielnik. W naszym przykładzie podzielimy liczbę 1834 przez 14, inaczej mówiąc zbadamy ile razy liczba 14 „mieści się” w liczbie 1834.

    dzielenie1
     
  2. Dzielimy pierwszą cyfrę dzielnej przez dzielnik. Jeśli liczba ta jest mniejsza od dzielnika, to bierzemy pierwsze dwie lub więcej cyfr dzielnej i dzielimy przez dzielnik. Inaczej mówiąc, w dzielnej wyznaczamy taką liczbę, którą można podzielić przez dzielnik. Wynik dzielenia zapisujemy nad kreską, a resztę z dzielenia zapisujemy pod spodem (pod dzielną).

    W naszym przykładzie w dzielnej bierzemy liczbę 18 i dzielimy ją przez 14, czyli sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 18. Liczba 14 zmieści się w 18 jeden raz, jedynkę piszemy nad kreską (nad ostatnią cyfrą liczby 18, czyli nad 8). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 i wynik 14 wpisujemy pod liczbą 18, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 18-14=4 i wynik 4 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać następująco: 18÷14=1 reszty 4.

    dzielenie2
     
  3. Do wyniku odejmowania opisanego w punkcie 2, czyli do otrzymanej reszty z dzielenia dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik. Tak jak poprzednio wynik zapisujemy nad kreską, a pod spodem resztę z tego dzielenia.
    W naszym przykładzie wygląda to następująco: do 4 dopisujemy cyfrę 3 (czyli kolejną cyfrę, która znajduje się za liczbą 18) i otrzymujemy liczbę 43, którą dzielimy przez dzielnik 14. Inaczej mówiąc sprawdzamy ile razy 14 zmieści się w 43. Liczba 14 zmieści się w 43 trzy razy, czyli 3 piszemy nad kreską (za 1), a następnie wykonujemy mnożenie 3•14=42i wynik 42 zapisujemy pod liczbą 43, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 43-42=1 i wynik 1 zapisujemy pod kreską.
    Opisane postępowanie możemy zapisać: 43÷14=3 reszty 1.

    dzielenie2
     
  4. Analogicznie jak poprzednio do otrzymanej reszty dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej i wykonujemy dzielenie przez dzielnik.
    W naszym przykładzie:
    do 1 dopisujemy ostatnią cyfrę dzielnej, czyli 4. Otrzymujemy liczbę 14, którą dzielimy przez dzielnik 14, w wyniku otrzymujemy 1 i wpisujemy ją nad kreską (po3). Następnie wykonujemy mnożenie 1•14=14 w wynik 14 zapisujemy pod 14, oddzielamy kreską i wykonujemy odejmowanie 14-14=0.
    Opisane postępowanie możemy zapisać 14÷14=1, czyli otrzymaliśmy dzielenie bez reszty, co kończy nasze dzielenie.

    dzielenie3
     
  5. Wynik dzielenia liczby 1834 przez 14 znajduje się nad kreską, czyli otrzymujemy ostatecznie iloraz 1834÷14=131.

Wielokrotności

Wielokrotność liczby to dana liczba pomnożona przez 1,2,3,4,5 itd.
Inaczej mówiąc, wielokrotność liczby n to każda liczba postaci 1•n, 2•n, 3•n, 4•n, 5•n ...

Przykłady:

  • wielokrotnością liczby 4 jest:
    • 4, bo $$4=1•4$$
    • 8, bo $$8=2•4$$
    • 12, bo $$12=3•4$$
    • 16, bo $$16=4•4$$
    • 20, bo $$20=5•4$$
       
  • wielokrotnością liczby 8 jest:
    • 8, bo $$8=1•8$$
    • 16, bo $$16=2•8$$
    • 24, bo $$24=3•8$$
    • 32, bo $$32=4•8$$
    • 40, bo $$40=5•8$$
Zobacz także
Udostępnij zadanie