Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastek wymierny, to ten pierwiastek musi być postaci:

$\frac{p}{q}$  . (p- dzielnik wyrazu wolnego, q- dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze x)
W każdym przykładzie wypiszemy więc dzielniki wyrazu wolnego i dzielniki współczynnika przy najwyższej  potędze x.
Założymy, że te dzielniki są pierwiastkami równania.

 

$a)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3+3x^2+kx-2}}=0$

Wyraz wolny to -2. Dzielniki -2 to -2, -1, 1, 2.
Współczynnik przy najwyższej potędze to 1, zatem dzielniki to  -1 i 1

$\frac{p}{q}$  może być postaci:   $\frac{-2}{1}=-2;\frac{-1}{-1}=1;\frac{1}{-1}=-1;\frac{2}{-1}=-2;\frac{-2}{1}=-2;\frac{-1}{1}=-1;\frac{1}{1}=1;\frac{2}{1}=2$  

Zatem aby równanie miało pierwiastki wymierne, musi zachodzić jeden z czterech przypadków:

$w\left(-2\right)=0\text{lub}w\left(-1\right)=0\text{lub}w\left(1\right)=0\text{lub}w\left(2\right)=0$

 

Obliczmy wartości wielomianu w przyjmowane dla tych czterech argumentów: 

$w\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+3\cdot {\left(-2\right)}^2+k\cdot \left(-2\right)-2=$

$=-8+3\cdot 4-2k-2=$

$=-8+12-2k-2=2-2k$