Matematyka

Wykaż, że liczba a jest pierwiastkiem 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Możemy podstawić liczbę a i sprawdzić, że równanie jest spełnione lub przenieść wszystkie wyrażenia na lewą stronę (tak, aby po prawej stronie znajdowało się zero) i podzielić tak otrzymany wielomian przez dwumian (x-a). Jeśli nie otrzymamy reszty, to będzie oznaczać, że liczba a jest pierwiastkiem równania. Biorąc pod uwagę, że mamy znaleźć pozostałe pierwiastki, lepiej wykonać dzielenie pisemne (jest to pierwszy krok do otrzymania postaci iloczynowej). 

 

`a)`

Możemy zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1)#(#(#(#(#underbrace((x^2+x-1))_(Delta=1^2-4*1*(-1)=))_(=1+4=5))_(sqrtDelta=sqrt5))_(x_1=(-1-sqrt5)/2))_(x_2=(-1+sqrt5)/2)=0`

`(x-1)(x-(-1-sqrt5)/2)(x-(-1+sqrt5)/2)=0`

Pozostałe (poza x=1) pierwiastki równania:

`x=(-1-sqrt5)/2\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x=(-1+sqrt5)/2`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`b)`

Możemy zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 2x\ -\ 1))_(Delta=2^2-4*1*(-1)=))_(=4+4=8))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt2=2sqrt2))_(x_1=(-2-2sqrt2)/2=-1-sqrt2))_(x_2=-1+sqrt2)=0`

`(x-2)(x+1+sqrt2)(x+1-sqrt2)=0`

Pozostałe (poza x=2) pierwiastki równania:

`x=-1-sqrt2\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x=-1+sqrt2`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`x^4-x^3-x^2=x+2\ \ \ \ |-x-2`

`x^4-x^3-x^2-x-2=0`

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1)(x^3-2x^2+x-2)=0`

`(x+1)(x^2(x-2)+1(x-2))=0`

`(x+1)(x-2)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)=0`

Pozostałe (poza x=-1) pierwiastki równania:

`x=2`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`2x^4+x^3+x^2=1-x\ \ \ \ \ |+x-1`

`2x^4+x^3+x^2+x-1=0`

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1/2)(2x^3+2x^2+2x+2)=0\ \ \ \ |:2`

`(x-1/2)(x^3+x^2+x+1)=0`

`(x-1/2)(x^2(x+1)+1(x+1))=0`

`(x-1/2)(x+1)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)=0`

Pozostałe (poza x=1/2) pierwiastki równania:

`x=-1`

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Wzajemne położenie prostych

Dwie proste mogą się przecinać w punkcie, mogą być do siebie prostopadłe lub równoległe.

  1. Proste przecinające się w punkcie P – proste mające jeden punkt wspólny.

    prosteprzecinajace
     
  2. Proste prostopadłe – to proste przecinające się pod kątem prostym.

    Jeśli proste a i b są prostopadłe (inaczej mówiąc prosta a jest prostopadła do prostej b), zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a⊥b$$. Dwie proste prostopadłe tworzą cztery kąty proste

    prostekatprosty
     
  3. Proste równoległe – to proste nie mające punktów wspólnych lub pokrywające się.

    Jeżeli proste a i b są równoległe (inaczej mówiąc prosta a jest równoległa do prostej b), to zapisujemy to symbolicznie w następujący sposób: $$a∥b$$.
     

    proste-rownlegle
Pozycyjny system dziesiątkowy

System liczenia, którego używamy jest pozycyjny i dziesiątkowy. Wyjaśnijmy co to oznacza:

  • pozycyjny, ponieważ liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych cyfr zależy od miejsca (pozycji), jakie zajmuje ta cyfra,
  • dziesiątkowy, ponieważ liczby zapisujemy za pomocą dziesięciu znaków, zwanych cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Przykład (wyjaśniający pojęcie pozycyjnego systemu dziesiątkowego):

img01
 

Każda z cyfr użyta w powyższej liczbie tworzy określoną wartość, która jest uzależniona od miejsca (pozycji), jaką zajmuje ta cyfra w zapisie utworzonej liczby.

Jeśli użyjemy dokładnie tych samych cyfr, z których zbudowana jest powyższa liczba, ale użyjemy ich w innej kolejności to otrzymamy całkiem inną liczbę (np. 935287, 728395).

Przestawienie kolejności cyfr zmienia wartość liczby, dlatego nasz system liczenia jest pozycyjny (ponieważ miejsce cyfry w zapisie liczby nadaje wartość tej liczbie), natomiast używanie dziesięciu cyfr do zapisu liczby powoduje, że nazywamy go dziesiątkowym systemem.
 

Liczbę z powyższego przykładu możemy zapisać też w następujący sposób:
$$3•1+9•10+5•100+7•1000+8•10000+2•100000= 287 593$$
 

Przykład (czytanie zapisanych liczb w pozycyjnym systemie dziesiątkowym):
  • 22 500 - czytamy: dwadzieścia dwa i pół tysiąca lub dwadzieścia dwa tysiące pięćset,
  • 1 675 241 - czytamy: milion sześćset siedemdziesiąt pięć tysięcy dwieście czterdzieści jeden.

  Ciekawostka

Pozycyjny system dziesiątkowy pochodzi prawdopodobnie z Indii (znany jest napis z 683 roku zawierający zapis liczby w systemie pozycyjnym z użyciem zera). Za pośrednictwem Arabów system ten oraz zero dotarły do Europy (stąd nazwa cyfry arabskie) i obecnie jest powszechnie używanym systemem liczbowym.

Zobacz także
Udostępnij zadanie