Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Wykaż, że liczba a jest pierwiastkiem 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Możemy podstawić liczbę a i sprawdzić, że równanie jest spełnione lub przenieść wszystkie wyrażenia na lewą stronę (tak, aby po prawej stronie znajdowało się zero) i podzielić tak otrzymany wielomian przez dwumian (x-a). Jeśli nie otrzymamy reszty, to będzie oznaczać, że liczba a jest pierwiastkiem równania. Biorąc pod uwagę, że mamy znaleźć pozostałe pierwiastki, lepiej wykonać dzielenie pisemne (jest to pierwszy krok do otrzymania postaci iloczynowej). 

 

`a)` 

Możemy zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1)#(#(#(#(#underbrace((x^2+x-1))_(Delta=1^2-4*1*(-1)=))_(=1+4=5))_(sqrtDelta=sqrt5))_(x_1=(-1-sqrt5)/2))_(x_2=(-1+sqrt5)/2)=0` 

`(x-1)(x-(-1-sqrt5)/2)(x-(-1+sqrt5)/2)=0` 

Pozostałe (poza x=1) pierwiastki równania:

`x=(-1-sqrt5)/2\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x=(-1+sqrt5)/2` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

 

`b)` 

Możemy zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-2)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ +\ 2x\ -\ 1))_(Delta=2^2-4*1*(-1)=))_(=4+4=8))_(sqrtDelta=sqrt4*sqrt2=2sqrt2))_(x_1=(-2-2sqrt2)/2=-1-sqrt2))_(x_2=-1+sqrt2)=0` 

`(x-2)(x+1+sqrt2)(x+1-sqrt2)=0` 

Pozostałe (poza x=2) pierwiastki równania:

`x=-1-sqrt2\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ x=-1+sqrt2` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

`x^4-x^3-x^2=x+2\ \ \ \ |-x-2` 

`x^4-x^3-x^2-x-2=0` 

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x+1)(x^3-2x^2+x-2)=0` 

`(x+1)(x^2(x-2)+1(x-2))=0` 

`(x+1)(x-2)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)=0` 

Pozostałe (poza x=-1) pierwiastki równania:

`x=2` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)` 

`2x^4+x^3+x^2=1-x\ \ \ \ \ |+x-1` 

`2x^4+x^3+x^2+x-1=0` 

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci: 

`(x-1/2)(2x^3+2x^2+2x+2)=0\ \ \ \ |:2` 

`(x-1/2)(x^3+x^2+x+1)=0` 

`(x-1/2)(x^2(x+1)+1(x+1))=0` 

`(x-1/2)(x+1)#underbrace((x^2\ \ +\ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)=0` 

Pozostałe (poza x=1/2) pierwiastki równania:

`x=-1`