$a)$

Do wykresu funkcji f należą między innymi punkty (0; 3) oraz (1; 0), stąd:

$\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=3\\ f\left(1\right)=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{0}^3+\left(b-a\right)\cdot 0^2-3\cdot 0+b=3\\ 1^3+\left(b-a\right)\cdot 1^2-3\cdot 1+b=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=3\\ 1+b-a-3+b=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=3\\ 2b-a-2=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=3\\ 2\cdot 3-a-2=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=3\\ 4-a=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=3\\ a=4\end{array}$

 

 

 

$b)$

Znamy wartości współczynników a oraz b, więc możemy zapisać wzór wielomianu f:

$f\left(x\right)=x^3+\left(b-a\right)x^2-3x+b=$

$=x^3+\left(3-4\right)x^2-3x+3=$

$=x^3-x^2-3x+3$

 

Zapiszemy wielomian f w postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=x^3-x^2-3x+3=$

$=x^2\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=$

$=\left(x-1\right)\left(x^2-3\right)=$

$=\left(x-1\right)\left(x^2-{\sqrt{3}}^2\right)=$

$=\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)$

 

Miejsca zerowe wielomianu f:

$f\left(x\right)=0\iff \underline{x\in \left\{1;\sqrt{3};-\sqrt{3}\right\}}$

 

 

 

$c)$

Patrząc na wykres wnioskujemy, że rozwiązania równania to: x=-1, x=0 oraz x=2 (miejsca przecięcia wykresów). 

Rozwiążemy to równanie algebraicznie:

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$

$x^3-x^2-3x+3=3-x\mid -3+x$

$x^3-x^2-2x=0$

$x\underset{x_2=\frac{1+3}{2}=2}{\underset{x_1=\frac{1-3}{2}=-1}{\underset{\sqrt{\Delta }=3}{\underset{=1+8=9}{\underset{\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=}{\underbrace{\left(x^2-x-2\right)}}}}}}=0$

$x\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$

$x=0\text{lub}x=-1\text{lub}x=2$