Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Dla jakich wartości parametrów 4.71 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potętgach.

 

`a)` 

`x^3:\ \ \ a-2=2\ \ \ =>\ \ \ a=2+2=4` 

`x^2:\ \ \ b=b` 

`x^1:\ \ \ 4=2a+b\ \ \ =>\ \ \ 4=2*4+b\ \ \ =>\ \ \ 4=8+b\ \ \ =>\ \ \ b=4-8=-4` 

`x^0:\ \ \ c=a+3\ \ \ =>\ \ \ c=4+3=7` 

 

Mamy odpowiedź:

`{(a=4), (b=-4), (c=7):}` 

 

 

 

`b)`

Uporządkujmy wielomian w:

`w(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-1)(x-3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =a(x^2-2x-x+2)+b(x^2-3x-2x+6)+c(x^2-3x-x+3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =a(x^2-3x+2)+b(x^2-5x+6)+c(x^2-4x+3)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =ax^2-3ax+2a+bx^2-5bx+6b+cx^2-4cx+3c=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(a+b+c)x^2+(-3a-5b-4c)x+(2a+6b+3c)` 

 

Porównujemy współczynniki stojące przy jednakowych potęgach:

`x^2:\ \ \ a+b+c=5` 

`x^1:\ \ \ -3a-5b-4c=-19` 

`x^0:\ \ \ 2a+6b+3c=18` 

 

Mamy do rozwiązania układ równań:

`{(a+b+c=5\ \ \ |-b-c), (-3a-5b-4c=-19\ \ \ |*(-1)), (2a+6b+3c=18):}` 

`{(a=-b-c+5) , (3a+5b+4c=19), (2a+6b+3c=18):}` 

`{(a=-b-c+5), (3(-b-c+5)+5b+4c=19), (2(-b-c+5)+6b+3c=18):}` 

`{(a=-b-c+5), (-3b-3c+15+5b+4c=19), (-2b-2c+10+6b+3c=18):}` 

`{(a=-b-c+5), (2b+c+15=19\ \ \ |-15-2b), (4b+c+10=18\ \ \ |-10):}`  

`{(a=-b-c+5), (c=4-2b), (4b+c=8):}` 

`{(a=-b-(4-2b)+5), (c=4-2b), (4b+4-2b=8):}` 

`{(a=-b-4+2b+5), (c=4-2b), (2b+4=8\ \ \ |-4):}`  

`{(a=b+1), (c=4-2b), (2b=4\ \ \ |:2):}` 

`{(a=b+1), (c=4-2b), (b=2):}`  

`{(a=2+1=3), (c=4-2*2=4-4=0), (b=2):}` 

 

 

 

`c)` 

Uporządkujmy wielomian u:

`u(x)=(x-a)^2(x-b)=(x^2-2ax+a^2)(x-b)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-bx^2-2ax^2+2abx+a^2x-a^2b=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-b-2a)x^2+(2ab+a^2)x+(-a^2b)` 

 

 

 

Porównujemy współczynniki stojące przy jednakowych potęgach:

`x^3:\ \ \ 1=c\ \ \ =>\ \ \ c=1` 

`x^2:\ \ \ -b-2a=-5\ \ \ =>\ \ \ b+2a=5` 

`x^1:\ \ \ 2ab+a^2=3` 

`x^0: \ \ \ -a^2b=3+2a` 

 

Mamy do rozwiązania układ równań:

`{(b+2a=5), (2ab+a^2=3), (-a^2b=3+2a):}` 

`{(b=5-2a), (2a(5-2a)+a^2=3), (-a^2(5-2a)=3+2a):}` 

`{(b=5-2a), (10a-4a^2+a^2=3\ \ \ |-3), (-5a^2+2a^3=3+2a):}`  

`{(b=5-2a), (-3a^2+10a-3=0), (-5a^2+2a^3=3+2a):}` 

 

Rozwiążmy drugie równanie:

`-3a^2+10a-3=0` 

`Delta=10^2-4*(-3)*(-3)=100-36=64` 

`sqrt(Delta)=8` 

`a_1=(-10-8)/(2*(-3))=(-18)/(-6)=3\ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ a_2=(-10+8)/(2*(-3))=(-2)/(-6)=1/3` 

 

Sprawdzamy, które z powyższych rozwiązań spełnia trzecie równanie układu równań:

`ul(ul(a=3))`

`-5*3^2+2*3^3#=^?3+2*3` 

`-5*9+2*27#=^?3+6` 

`-45+54#=^?9` 

`9#=^?9` 

Powyższa równość jest prawdziwa. 

 

 

`ul(ul(a=1/3))` 

`-5*(1/3)^2+2*(1/3)^3#=^?3+2*1/3` 

`-5*1/9+2*1/27#=^?3+2/3` 

`-5/9+2/27#=^?3 2/3` 

`-15/27+2/27#=^?3 2/3` 

`-13/27#=^?3 2/3` 

Powyższa równość nie jest prawdziwa, więc odrzucamy tą odpowiedż. 

 

`{(a=3), (b=5-2a=5-2*3=5-6=-1) , (c=1):}`