W każdym przykładzie najpierw wykonamy mnożenie wielomianu po prawej stronie równości.
Następnie skorzystamy z faktu, że dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki stojące przy jednakowych potęgach są równe.
a)
(x2−ax+1)(x−b)=x3−bx2−ax2+abx+x−b=
=x3+(−b−a)x2+(ab+1)x−b
Porównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach:
x3: 1=1
x2: −1=−b−a ⇒ 1=b+a
x1: 1=ab+1 ⇒ ab=0
x0: −1=−b ⇒ b=1
Wiemy, że b=1. Podstawiamy tą wartośc do pozstałych zalezności i wyliczamy a:
1=b+a ⇒ 1=1+a ⇒ a=1−1=0
ab=0 ⇒ a⋅1=0 ⇒ a=0
Możemy zapisać odpowiedź:
{a=0b=1
b)
(ax2+x+1)(x2+b)=ax4+abx2+x3+bx+x2+b=
=ax4+x3+(ab+1)x2+bx+b
x4: 2=a ⇒ a=2
x3: 1=1
x2: 3=ab+1 ⇒ ab=2 ⇒ 2b=2 ⇒ b=2:2=1
x1: 1=b ⇒ b=1
x0: 1=b ⇒ b=1
Możemy zapisac odpowiedź:
{a=2b=1
c)
(x2+x+a)(bx2+x+1)=bx4+x3+x2+bx3+x2+x+abx2+ax+a=
=bx4+(1+b)x3+(2+ab)x2+(1+a)x+a
x4: 3=b ⇒ b=3
x3: 4=1+b ⇒ b=4−1=3
x2: −10=2+ab ⇒ ab=−12 ⇒ a⋅3=−12 ⇒ a=−12:3=−4
x1: −3=1+a ⇒ a=−3−1=−4
x0: −4=a ⇒ a=−4
Możemy zapisac odpowiedź:
{a=−4b=3
d)
(ax3+x2)(bx2−x)=abx5−ax4+bx4−x3=
=abx5+(−a+b)x4−x3
x5: −2=ab
x4: 3=−a+b
x3: −1=−1
Mamy do rozwiązania układ równań:
{3=−a+b ∣+a−2=ab
{b=a+3−2=a(a+3)
{b=a+3−2=a2+3a ∣+2
{b=a+3a2+3a+2=0
Rozwiążmy drugie równanie:
Δ=32−4⋅2⋅1=9−8=1
Δ=1
a1=2−3−1=2−4=−2 lub a=2−3+1=2−2=−1
Mamy dwie możliwości:
{a=−2b=−2+3=1 lub {a=−1b=−1+3=2
