Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Wyznacz współczynniki a i b 4.5 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Dzieląc wielomian czwartego stopnia w(x) przez wielomian drugiego stopnia q(x) otrzymamy pewien wielomian s(x) stopnia drugiego (bo 4-2=2). Oznaczmy więc:

`s(x)=cx^2+dx+e` 

Wielomian w(x) możemy zapisać jako iloczyn wielomianów q(x) oraz s(x) plus otrzymana reszta. 

`w(x)=q(x)s(x)+#underbrace(r(x))_("reszta")` 

Zapiszemy każdy wielomian w ten sposób, a następnie porównamy współczynniki znajdujące się przy jednakowych potęgach (jeśli ma zachodzić równość, to odpowiednie współczynniki muszą być sobie równe).

Obliczmy, ile wynosi iloczyn q(x)s(x) - pojawi się on w każdym podpunkcie:

`q(x)s(x)=(x^2+2x-2)(cx^2+dx+e)=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =cx^4+dx^3+ex^2+2cx^3+2dx^2+2ex-2cx^2-2dx-2e=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d)x-2e`     

 

`a)` 

`x^4+3x^3-x^2+ax+b=cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d)x-2e+0` 

`x^4+3x^3-x^2+ax+b=cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d)x-2e` 

 

 

Porównujemy współczynniki znajdujące się przy jednakowych potęgach:

`x^4:\ \ \ 1=c\ \ \ =>\ \ \ c=1` 

`x^3:\ \ \ 3=d+2c\ \ \ =>\ \ \ 3=d+2*1\ \ \ =>\ \ \ d=3-2=1` 

`x^2:\ \ \ -1=e+2d-2c\ \ \ =>\ \ \ -1=e+2*1-2*1\ \ \ =>\ \ \ e=-1` 

`x^1:\ \ \ a=2e-2d\ \ \ =>\ \ \ a=2*(-1)-2*1=-2-2=-4` 

`x^0:\ \ \ b=-2e\ \ \ =>\ \ \ b=-2*(-1)=2` 

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(a=-4,\ \ \ b=2))` 

 

 

 

`b)` 

`x^4+3x^3-x^2+ax+b=cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d)x-2e+1` 

`x^4+3x^3-x^2+ax+b=cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d)x+(-2e+1)` 

 

`x^4:\ \ \ 1=c\ \ \ =>\ \ \ c=1` 

`x^3:\ \ \ 3=d+2c\ \ \ =>\ \ \ 3=d+2*1\ \ \ =>\ \ \ d=3-2=1` 

`x^2:\ \ \ -1=e+2d-2c\ \ \ =>\ \ \ -1=e+2*1-2*1\ \ \ =>\ \ \ e=-1` 

`x^1:\ \ \ a=2e-2d\ \ \ =>\ \ \ a=2*(-1)-2*1=-2-2=-4` 

`x^0:\ \ \ b=-2e+1\ \ \ =>\ \ \ b=-2*(-1)+1=2+1=3` 

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(a=-4,\ \ \ b=3))` 

 

 

`c)` 

`x^4+3x^3-x^2+ax+b=cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d)x-2e+x+1` 

`x^4+3x^3-x^2+ax+b=cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d+1)x+(-2e+1)` 

 

 

`x^4:\ \ \ 1=c\ \ \ =>\ \ \ c=1` 

`x^3:\ \ \ 3=d+2c\ \ \ =>\ \ \ 3=d+2*1\ \ \ =>\ \ \ d=3-2=1` 

`x^2:\ \ \ -1=e+2d-2c\ \ \ =>\ \ \ -1=e+2*1-2*1\ \ \ =>\ \ \ e=-1` 

`x^1:\ \ \ a=2e-2d+1\ \ \ =>\ \ \ a=2*(-1)-2*1+1=-2-2+1=-3` 

`x^0:\ \ \ b=-2e+1\ \ \ =>\ \ \ b=-2*(-1)+1=2+1=3` 

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(a=-3,\ \ \ b=3))` 

 

 

`d)` 

`x^4+3x^3-x^2+ax+b=cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d)x-2e+3x-2` 

`x^4+3x^3-x^2+ax+b=cx^4+(d+2c)x^3+(e+2d-2c)x^2+(2e-2d+3)x+(-2e-2)` 

 

 

`x^4:\ \ \ 1=c\ \ \ =>\ \ \ c=1` 

`x^3:\ \ \ 3=d+2c\ \ \ =>\ \ \ 3=d+2*1\ \ \ =>\ \ \ d=3-2=1` 

`x^2:\ \ \ -1=e+2d-2c\ \ \ =>\ \ \ -1=e+2*1-2*1\ \ \ =>\ \ \ e=-1` 

`x^1:\ \ \ a=2e-2d+3\ \ \ =>\ \ \ a=2*(-1)-2*1+3=-2-2+3=-1` 

`x^0:\ \ \ b=-2e-2\ \ \ =>\ \ \ b=-2*(-1)-2=2-2=0` 

 

Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(a=-1,\ \ \ b=0))`