Aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji g, należy rozwiązać równanie:

$g\left(x\right)=0$  

Stąd mamy:  

$\left|2x^3+3x^2-12x\right|-m=0$   

$\left|2x^3+3x^2-12x\right|=m$   

W takim razie możemy sprowadzić to zadanie do ustalenia liczby rozwiązań równania f(x)=m, gdzie

$f\left(x\right)=\left|2x^3+3x^2-12x\right|$  

Będziemy chcieli zrobić to na podstawie wykresu.

Oznaczmy:

$h\left(x\right)=2x^3+3x^2-12x$   

---

Zbadajmy przebieg zmienności funkcji h i naszkicujmy jej wykres.

$h\left(x\right)=2x^3+3x^2-12x$  

1. Określamy dziedzinę funkcji:

$D_h=\mathbf{R}$  

 

2. Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś y - obliczamy h(0).  

$h\left(0\right)=0$  

Wykres przecina oś OY w punkcie (0, 0). 

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś OX, rozwiązujemy równanie h(x)=0:

$2x^3+3x^2-12x=0$  

$x\left(2x^2+3x-12\right)=0$   

$\Delta =9+4\cdot 2\cdot 12=9+96=105,\sqrt{\Delta }=\sqrt{105}$   

$x=\frac{-3-\sqrt{105}}{4}\vee x=\frac{-3+\sqrt{105}}{4}$  

 

Zatem wykres funkcji h przecina oś OX w punktach

$\left(-\frac{3+\sqrt{105}}{4},0\right),\left(\frac{-3+\sqrt{105}}{4},0\right)$  

 

3. Określamy granice funkcji h w -oo i w +oo.     

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x^3+3x^2-12x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(2-\frac{3}{x}-\frac{12}{x^2}\right)\stackrel{\left[-\infty \cdot 2\right]}{=}-\infty$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^3+3x^2-12x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(2-\frac{3}{x}-\frac{12}{x^2}\right)\stackrel{\left[+\infty \cdot 2\right]}{=}+\infty$

Zatem funkcja h nie ma asymptoty poziomej.

 

4. Wyznaczamy pochodną funkcji h:

$h{}^{\prime }\left(x\right)=\left(2x^3+3x^2-12x\right){}^{\prime }=6x^2+6x-12$  

i określamy jej dziedzinę: 

$D_{h{}^{\prime }}=\mathbf{R}$  

 

5. Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji h.

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$6x^2+6x-12=0\text{/}:6$  

$x^2+x-2=0$   

$x^2+2x-x-2=0$  

$x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)=0$  

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0$  

$x=1\vee x=-2$      

Szkicujemy wykres funkcji h':

 

i odczytujemy z niego rozwiązania nierówności:

$h{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

$h{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(-2,1\right)$  

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach (-oo, -2> oraz <1, +oo), a malejąca w przedziale . 

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla x=-2, a dla x=1 minimum lokalne.

$h\left(-2\right)=2\cdot \left(-8\right)+3\cdot 4-12\cdot \left(-2\right)=-16+12+24=20$  

$h\left(1\right)=2+3-12=-7$  

---

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli.

Przyjmijmy oznaczenia:

$x_1=-\frac{3+\sqrt{105}}{4}\approx -3,3$  

$x_2=\frac{-3+\sqrt{105}}{4}\approx 1,8$  

$x$	$\left(-\infty ,x_1\right)$	$x_1$	$\left(x_1,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,x_2\right)$	$x_2$	$\left(x_2,+\infty \right)$
$h{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$h\left(x\right)$	$-\infty \nearrow$	$0$	$\nearrow$	$20$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-7$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow +\infty$

---

Szkicujemy wykres funkcji h, a następnie na jego podstawie szkicujemy wykres funkcji f.

  

---

Odczytujemy liczbę rozwiązań równania f(x)=m:

• $0\text{dla}m\in \left(-\infty ,0\right)$  
• $2\text{dla}m\in \left(20,+\infty \right)$  
• $3\text{dla}m\in \left\{0,20\right\}$  
• $4\text{dla}m\in \left(7,20\right)$  
• $5\text{dla}m=7$  
• $6\text{dla}m\in \left(0,7\right)$