Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

$\left|x-1\right|=\{\begin{array}{ll}x-1& \text{dla}x\ge 1\\ -x+1& \text{dla}x<1\end{array}$  

W takim razie wzór funkcji  $f$  możemy zapisać następująco:

  $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}& \text{dla}x\ge 1\\ \frac{x+1}{x\left(1-x\right)}& \text{dla}x<1\end{array}$  

a po wyciągnięciu minusa z mianownika funkcji określonej dla  $x<1$  otrzymamy wreszcie:

  $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}& \text{dla}x\ge 1\\ -\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}& \text{dla}x<1\end{array}$  

Zauważmy, że aby otrzymać wykres funkcji  $y=-\frac{x+1}{x\left(x-1\right)},$  wystarczy przekształcić wykres

funkcji  $y=\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}$  symetrycznie względem osi  $OX.$     

W takim razie zbadamy przebieg funkcji  $g\left(x\right)=\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}$  i naszkicujemy jej wykres, a następnie

odpowiednio go przekształcimy.

 

$g\left(x\right)=\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}$  

$1.$  Określamy dziedzinę funkcji:

$x\left(x-1\right)\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne 1$  

$D_g=\mathbf{R}-\left\{0,1\right\}$  

 

$2.$  Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Wykres funkcji $g$  nie przecina osi  $OY,$   ponieważ  $0\notin D_g.$   

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś  $OX,$  rozwiązujemy równanie  $g\left(x\right)=0:$        

$\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}=0\text{/}\cdot \left(x\left(x-1\right)\right)\ne 0$  

$x+1=0$  

$x=-1$  

Zatem wykres funkcji  $f$  przecina oś  $OX$  w punkcie  $\left(-1,0\right).$

 

$3.$  Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja  $g$  jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=0$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2-x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=0$    

Prosta  $y=0$  jest obustronną asymptotą poziomą wykresu funkcji  $g.$   

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}\stackrel{\left[\frac{1}{-1\cdot 0^{-}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}\stackrel{\left[\frac{1}{-1\cdot 0^{+}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}\stackrel{\left[\frac{2}{1\cdot 0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}\stackrel{\left[\frac{2}{1\cdot 0^{+}}\right]}{=}+\infty$

Proste  $x=0$  oraz  $x=1$  są asymptotami pionowymi (obustronnymi) wykresu funkcji  $g.$   

 

$4.$  Wyznaczamy pochodną funkcji  $g:$  

$g{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x+1}{x^2-x}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{x^2-x-\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}{{\left(x^2-x\right)}^2}=\frac{x^2-x-2x^2-2x+x+1}{{\left(x^2-x\right)}^2}=\frac{-x^2-2x+1}{{\left(x^2-x\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę:  $D_{g{}^{\prime }}=\mathbf{R}-\left\{0,1\right\}.$   

 

$5.$  Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji  $g.$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{-x^2-2x+1}{{\left(x^2-x\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2-x\right)}^2\ne 0$  

$-x^2-2x+1=0$  

$\Delta =4+4=8,\sqrt{\Delta }=2\sqrt{2}$  

$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{-2}=\sqrt{2}-1\vee x=\frac{2+2\sqrt{2}}{-2}=-1-\sqrt{2}$  

Szkicujemy wykres funkcji  $g{}^{\prime }:$  

Zatem:

$g{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(-\infty ,-1-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2}-1,+\infty \right)$  

$g{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-1-\sqrt{2},\sqrt{2}-1\right)$  

Zatem funkcja jest malejąca w przedziałach  $(-\infty ,-1-\sqrt{2}⟩$  oraz  $⟨\sqrt{2}-1,1),\left(1,+\infty \right),$  a rosnąca w przedziałach  $⟨-1-\sqrt{2},0)$  oraz  $(0,\sqrt{2}-1⟩.$  

Funkcja osiąga minimum lokalne dla  $x=-1-\sqrt{2},$  a maksimum lokalne dla  $x=\sqrt{2}-1.$  

$g\left(-1-\sqrt{2}\right)=\frac{-1-\sqrt{2}+1}{{\left(-1-\sqrt{2}\right)}^2-\left(-1-\sqrt{2}\right)}=-\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}+2+1+\sqrt{2}}=$  

$=-\frac{\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}\cdot \frac{4-3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}=-\frac{4\sqrt{2}-6}{16-18}=\frac{4\sqrt{2}-6}{2}=2\sqrt{2}-3$  

$g\left(\sqrt{2}-1\right)=\frac{\sqrt{2}-1+1}{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2-\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}=$  

$=\frac{\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}\cdot \frac{4+3\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}+6}{16-18}=-2\sqrt{2}-3$  

 

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli.

Przyjmijmy  $-1-\sqrt{2}=x_1,\sqrt{2}-1=x_2.$  

$x$	$\left(-\infty ,x_1\right)$	$x_1$	$\left(x_1,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,x_2\right)$	$x_2$	$\left(x_2,1\right)$	$1$	$\left(1,\infty \right)$
$g{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$
$g\left(x\right)$	$-\infty \searrow 0$	$2\sqrt{2}-3$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow$	$-2\sqrt{2}-3$	$\searrow -\infty$	$\times$	$0\searrow \infty$

 

 Szkicujemy wykres funkcji  $g$  na całej dziedzinie. Następnie część wykresu dla  $x<1$  odbijamy symetrycznie względem osi  $OX.$  

Otrzymamy wówczas wykres funkcji  $f.$