$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x+1}$  

$1.$  Określamy dziedzinę funkcji:

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-1\right\}$  

 

$2.$  Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś  $y-$  obliczamy  $f\left(0\right).$         

$f\left(0\right)=0\Rightarrow$  wykres przecina oś  $OY$  w punkcie  $\left(0,0\right)$  

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś  $OX,$  rozwiązujemy równanie  $f\left(x\right)=0:$        

$\frac{2x^2}{x+1}=0\text{/}\cdot \left(x+1\right)\ne 0$  

$2x^2=0$  

$x=0$  

Zatem wykres funkcji  $f$  przecina oś  $OX$  w punkcie  $\left(0,0\right).$

 

$3.$  Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja  $f$  jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x}{1-\frac{1}{x}}\stackrel{\left[\frac{-\infty }{1}\right]}{=}-\infty$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x}{1-\frac{1}{x}}\stackrel{\left[\frac{+\infty }{1}\right]}{=}+\infty$    

Zatem funkcja  $f$  nie ma asymptoty poziomej.

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x^2}{x+1}\stackrel{\left[\frac{2}{0^{+}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x^2}{x+1}\stackrel{\left[\frac{2}{0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

Prosta  $x=-1$  jest asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji  $f.$

 

$4.$  Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{2x^2}{x+1}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{4x\left(x+1\right)-2x^2}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{4x^2+4x-2x^2}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{2x^2+4x}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{2x\left(x+2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę:  $D_{f{}^{\prime }}=\mathbf{R}-\left\{-1\right\}.$  

 

$5.$  Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji  $f.$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{2x\left(x+2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x+1\right)}^2\ne 0$  

$2x\left(x+2\right)=0$  

$x=0\vee x=-2$  

Szkicujemy wykres funkcji  $f{}^{\prime }:$  

i odczytujemy z niego rozwiązania nierówności:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(-2,0\right)$  

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach  $(-\infty ,-2⟩$  oraz  $⟨0,+\infty ),$  a malejąca w przedziałach  $⟨-2,-1)$ oraz    $(-1,0⟩.$   

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla  $x=-2,$  a minimum lokalne dla  $x=0.$  

$f\left(-2\right)=\frac{2\cdot 4}{-2+1}=-8$  

$f\left(0\right)=0$  

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$-\infty \nearrow$	$-8$	$\nearrow \infty$	$\times$	$-\infty \searrow$	$0$	$\nearrow +\infty$

 

Szkicujemy wykres funkcji:

 

Odczytujemy z wykresu liczbę rozwiązań równania  $f\left(x\right)=m.$  

Dla  $m\in \left(-8,0\right)$  równanie nie ma rozwiązań.

Dla  $m\in \left\{-8,0\right\}$  równanie ma jedno rozwiązanie.

Dla  $m\in \left(-\infty ,-8\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  równanie ma dwa rozwiązania.    

 

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2-4}$  

$1.$  Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2-4\ne 0$  

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ne 0$  

$x\ne 2\wedge x\ne -2$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-2,2\right\}$  

 

$2.$  Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś  $y-$  obliczamy  $f\left(0\right).$         

$f\left(0\right)=0\Rightarrow$  wykres przecina oś  $OY$  w punkcie  $\left(0,0\right)$  

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś  $OX,$  rozwiązujemy równanie  $f\left(x\right)=0:$        

$\frac{x^2}{x^2-4}=0\text{/}\cdot \left(x^2-4\right)\ne 0$  

$x^2=0$  

$x=0$  

Zatem wykres funkcji  $f$  przecina oś  $OX$  w punkcie  $\left(0,0\right).$

 

$3.$  Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja  $f$  jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2-4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{1-\frac{4}{x^2}}=1$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2-4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1-\frac{4}{x^2}}=1$    

Prosta  $y=1$  jest obustronną asymptotą poziomą wykresu funkcji  $f.$   

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{4}{-4\cdot 0^{+}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{4}{-4\cdot 0^{-}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{4}{4\cdot 0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\stackrel{\left[\frac{4}{4\cdot 0^{+}}\right]}{=}+\infty$

Proste  $x=-2$  oraz  $x=2$  są asymptotami pionowymi (obustronnymi) wykresu funkcji  $f.$   

 

$4.$  Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x^2}{x^2-4}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{2x\left(x^2-4\right)-2x\cdot x^2}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{2x^3-8x-2x^3}{{\left(x^2-4\right)}^2}=-\frac{8x}{{\left(x^2-4\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę:  $D_{f{}^{\prime }}=\mathbf{R}-\left\{-2,2\right\}.$  

 

$5.$  Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji  $f.$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$-\frac{8x}{{\left(x^2-4\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2-4\right)}^2\ne 0$  

$-8x=0$  

$x=0$  

Zatem:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,0\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(0,+\infty \right)$  

Funkcja jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ,-2\right)$   oraz  $(-2,0⟩,$  a malejąca w przedziałach  $⟨0,2)$  oraz  $\left(2,+\infty \right).$  

W takim razie funkcja  $f$  osiąga maksimum lokalne dla  $x=0.$  

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-2\right)$	$-2$	$\left(-2,0\right)$	$0$	$\left(0,2\right)$	$2$	$\left(2,+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$
$f\left(x\right)$	$-\infty \nearrow 1$	$\times$	$\infty \nearrow$	$0$	$-\infty \searrow$	$\times$	$1\searrow +\infty$

 

Szkicujemy wykres funkcji:

 

Odczytujemy z wykresu liczbę rozwiązań równania  $f\left(x\right)=m.$  

Dla  $m\in (0,1⟩$  równanie nie ma rozwiązań.

Dla  $m=0$  równanie ma jedno rozwiązanie.

Dla  $m\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  równanie ma dwa rozwiązania. 

 

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{3}{x^2-x+2}$  

$1.$  Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2-x+2\ne 0$  

$\Delta =1-4\cdot 2<0$  

$D_f=\mathbf{R}$  

 

$2.$  Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś  $y-$  obliczamy  $f\left(0\right).$         

$f\left(0\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow$  wykres przecina oś  $OY$  w punkcie  $\left(0,\frac{3}{2}\right)$  

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś  $OX,$  rozwiązujemy równanie  $f\left(x\right)=0:$        

$\frac{3}{x^2-x+2}=0\text{/}\cdot \left(x^2-x+2\right)\ne 0$  

$3=0-$  sprzeczność

Zatem wykres funkcji  $f$   nie przecina osi  $OX.$  

 

$3.$  Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja  $f$  jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x^2-x+2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x^2}}{x-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}=0$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x^2-x+2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x^2}}{x-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}=0$

Prosta  $y=0$  jest obustronną asymptotą poziomą wykresu funkcji  $f.$   

 

 

$4.$  Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{3}{x^2-x+2}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{-\left(2x-1\right)\cdot 3}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}=\frac{3-6x}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę:  $D_{f{}^{\prime }}=\mathbf{R}.$  

 

$5.$  Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji  $f.$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{3-6x}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2-x+2\right)}^2\ne 0$  

$3-6x=0$  

$x=\frac{1}{2}$  

Zatem:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$  

W takim razie funkcja  $f$  osiąga maksimum lokalne dla  $x=\frac{1}{2}.$  

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2}=\frac{3}{1\frac{3}{4}}=\frac{3}{\frac{7}{4}}=\frac{12}{7}$  

Funkcja jest rosnąca w przedziale  $(-\infty ,\frac{1}{2}⟩,$  a malejąca w przedziale  $⟨\frac{1}{2},+\infty ).$  

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,0\right)$	$0$	$\left(0,\frac{1}{2}\right)$	$\frac{1}{2}$	$\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	$-\infty \nearrow 0$	$\frac{3}{2}$	$\nearrow$	$\frac{12}{7}$	$0\searrow +\infty$

 

Szkicujemy wykres funkcji:

 

Odczytujemy z wykresu liczbę rozwiązań równania  $f\left(x\right)=m.$  

Dla  $m\in (-\infty ,0⟩\cup \left(\frac{12}{7},+\infty \right)$  równanie nie ma rozwiązań.

Dla  $m=\frac{12}{7}$  równanie ma jedno rozwiązanie.

Dla  $m\in \left(0,\frac{12}{7}\right)$  równanie ma dwa rozwiązania.