Posługując się wykresem funkcji f, ustal liczbę...- Zadanie 6: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) f (x) = \frac{2 x ^{2}}{x + 1}$

$1 .$ Określamy dziedzinę funkcji:

$x + 1 \neq = 0$

$x \neq = - 1$

$D_{f} = R - {- 1}$

$2 .$ Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś $y -$ obliczamy $f (0) .$

$f (0) = 0 \Rightarrow$ wykres przecina oś $O Y$ w punkcie $(0, 0)$

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś $O X,$ rozwiązujemy równanie $f (x) = 0 :$

$\frac{2 x ^{2}}{x + 1} = 0 / \cdot (x + 1) \neq = 0$

$2 x^{2} = 0$

$x = 0$

Zatem wykres funkcji $f$ przecina oś $O X$ w punkcie $(0, 0) .$

$3 .$ Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja $f$ jest określona.

$x \to - \infty lim \frac{2 x ^{2}}{x + 1} = x \to - \infty lim \frac{2 x}{1 - \frac{1}{x}} = [\frac{- \infty}{1}] - \infty$

$x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2}}{x + 1} = x \to + \infty lim \frac{2 x}{1 - \frac{1}{x}} = [\frac{+ \infty}{1}] + \infty$

Zatem funkcja $f$ nie ma asymptoty poziomej.

$x \to - 1^{-} lim \frac{2 x ^{2}}{x + 1} = [\frac{2}{0 ^{+}}] + \infty$

$x \to - 1^{+} lim \frac{2 x ^{2}}{x + 1} = [\frac{2}{0 ^{-}}] - \infty$

Prosta $x = - 1$ jest asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji $f .$

$4 .$ Wyznaczamy pochodną funkcji $f :$

$f^{'} (x) = (\frac{2 x ^{2}}{x + 1})^{^{'}} = \frac{4 x ( x + 1 ) - 2 x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{4 x ^{2} + 4 x - 2 x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 4 x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ( x + 2 )}{( x + 1 ) ^{2}}$

i określamy jej dziedzinę: $D_{f^{'}} = R - {- 1} .$

$5 .$ Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji $f .$

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{2 x ( x + 2 )}{( x + 1 ) ^{2}} = 0 / \cdot (x + 1)^{2} \neq = 0$

$2 x (x + 2) = 0$

$x = 0 \lor x = - 2$

Szkicujemy wykres funkcji $f^{'} :$

i odczytujemy z niego rozwiązania nierówności:

$f^{'} (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, 2) \cup (0, + \infty)$

$f^{'} (x) < 0$ dla $x \in (- 2, 0)$

Zatem funkcja jest rosnąca w przedziałach $(- \infty, - 2 ⟩$ oraz $⟨ 0, + \infty),$ a malejąca w przedziałach $⟨ - 2, - 1)$ oraz $(- 1, 0 ⟩ .$

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla $x = - 2,$ a minimum lokalne dla $x = 0 .$

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 4}{- 2 + 1} = - 8$

$f (0) = 0$

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$(- \infty, - 2)$	$- 2$	$(- 2, - 1)$	$- 1$	$(- 1, 0)$	$0$	$(0, + \infty)$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$- \infty ↗$	$- 8$	$↗ \infty$	$\times$	$- \infty ↘$	$0$	$↗ + \infty$

Szkicujemy wykres funkcji:

Odczytujemy z wykresu liczbę rozwiązań równania $f (x) = m .$

Dla $m \in (- 8, 0)$ równanie nie ma rozwiązań.

Dla $m \in {- 8, 0}$ równanie ma jedno rozwiązanie.

Dla $m \in (- \infty, - 8) \cup (0, + \infty)$ równanie ma dwa rozwiązania.

$b) f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4}$

$1 .$ Określamy dziedzinę funkcji:

$x^{2} - 4 \neq = 0$

$(x - 2) (x + 2) \neq = 0$

$x \neq = 2 \land x \neq = - 2$

$D_{f} = R - {- 2, 2}$

$2 .$ Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś $y -$ obliczamy $f (0) .$

$f (0) = 0 \Rightarrow$ wykres przecina oś $O Y$ w punkcie $(0, 0)$

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś $O X,$ rozwiązujemy równanie $f (x) = 0 :$

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} = 0 / \cdot (x^{2} - 4) \neq = 0$

$x^{2} = 0$

$x = 0$

Zatem wykres funkcji $f$ przecina oś $O X$ w punkcie $(0, 0) .$

$3 .$ Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja $f$ jest określona.

$x \to - \infty lim \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} = x \to - \infty lim \frac{1}{1 - \frac{4}{x ^{2}}} = 1$

$x \to + \infty lim \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} = x \to + \infty lim \frac{1}{1 - \frac{4}{x ^{2}}} = 1$

Prosta $y = 1$ jest obustronną asymptotą poziomą wykresu funkcji $f .$

$x \to - 2^{-} lim \frac{x ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = [\frac{4}{- 4 \cdot 0 ^{+}}] - \infty$

$x \to - 2^{+} lim \frac{x ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = [\frac{4}{- 4 \cdot 0 ^{-}}] + \infty$

$x \to 2^{-} lim \frac{x ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = [\frac{4}{4 \cdot 0 ^{-}}] - \infty$

$x \to 2^{+} lim \frac{x ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = [\frac{4}{4 \cdot 0 ^{+}}] + \infty$

Proste $x = - 2$ oraz $x = 2$ są asymptotami pionowymi (obustronnymi) wykresu funkcji $f .$

$4 .$ Wyznaczamy pochodną funkcji $f :$

$f^{'} (x) = (\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4})^{^{'}} = \frac{2 x ( x ^{2} - 4 ) - 2 x \cdot x ^{2}}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 8 x - 2 x ^{3}}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} = - \frac{8 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$

i określamy jej dziedzinę: $D_{f^{'}} = R - {- 2, 2} .$

$5 .$ Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji $f .$

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$- \frac{8 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} = 0 / \cdot (x^{2} - 4)^{2} \neq = 0$

$- 8 x = 0$

$x = 0$

Zatem:

$f^{'} (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, 0)$

$f^{'} (x) < 0$ dla $x \in (0, + \infty)$

Funkcja jest rosnąca w przedziałach $(- \infty, - 2)$ oraz $(- 2, 0 ⟩,$ a malejąca w przedziałach $⟨ 0, 2)$ oraz $(2, + \infty) .$

W takim razie funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne dla $x = 0 .$

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$(- \infty, - 2)$	$- 2$	$(- 2, 0)$	$0$	$(0, 2)$	$2$	$(2, + \infty)$
$f^{'} (x)$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$
$f (x)$	$- \infty ↗ 1$	$\times$	$\infty ↗$	$0$	$- \infty ↘$	$\times$	$1 ↘ + \infty$

Szkicujemy wykres funkcji:

Odczytujemy z wykresu liczbę rozwiązań równania $f (x) = m .$

Dla $m \in (0, 1 ⟩$ równanie nie ma rozwiązań.

Dla $m = 0$ równanie ma jedno rozwiązanie.

Dla $m \in (- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ równanie ma dwa rozwiązania.

$c) f (x) = \frac{3}{x ^{2} - x + 2}$

$1 .$ Określamy dziedzinę funkcji:

$x^{2} - x + 2 \neq = 0$

$Δ = 1 - 4 \cdot 2 < 0$

$D_{f} = R$

$2 .$ Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś $y -$ obliczamy $f (0) .$

$f (0) = \frac{3}{2} \Rightarrow$ wykres przecina oś $O Y$ w punkcie $(0, \frac{3}{2})$

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś $O X,$ rozwiązujemy równanie $f (x) = 0 :$

$\frac{3}{x ^{2} - x + 2} = 0 / \cdot (x^{2} - x + 2) \neq = 0$

$3 = 0 -$ sprzeczność

Zatem wykres funkcji $f$ nie przecina osi $O X .$

$3 .$ Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja $f$ jest określona.

$x \to - \infty lim \frac{3}{x ^{2} - x + 2} = x \to - \infty lim \frac{\frac{3}{x ^{2}}}{x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}}} = 0$

$x \to + \infty lim \frac{3}{x ^{2} - x + 2} = x \to + \infty lim \frac{\frac{3}{x ^{2}}}{x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x ^{2}}} = 0$

Prosta $y = 0$ jest obustronną asymptotą poziomą wykresu funkcji $f .$

$4 .$ Wyznaczamy pochodną funkcji $f :$

$f^{'} (x) = (\frac{3}{x ^{2} - x + 2})^{^{'}} = \frac{- ( 2 x - 1 ) \cdot 3}{( x ^{2} - x + 2 ) ^{2}} = \frac{3 - 6 x}{( x ^{2} - x + 2 ) ^{2}}$

i określamy jej dziedzinę: $D_{f^{'}} = R .$

$5 .$ Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji $f .$

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{3 - 6 x}{( x ^{2} - x + 2 ) ^{2}} = 0 / \cdot (x^{2} - x + 2)^{2} \neq = 0$

$3 - 6 x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Zatem:

$f^{'} (x) > 0$ dla $x \in (- \infty, \frac{1}{2})$

$f^{'} (x) < 0$ dla $x \in (\frac{1}{2}, + \infty)$

W takim razie funkcja $f$ osiąga maksimum lokalne dla $x = \frac{1}{2} .$

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2} = \frac{3}{1 \frac{3}{4}} = \frac{3}{\frac{7}{4}} = \frac{12}{7}$

Funkcja jest rosnąca w przedziale $(- \infty, \frac{1}{2} ⟩,$ a malejąca w przedziale $⟨ \frac{1}{2}, + \infty) .$

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$(- \infty, 0)$	$0$	$(0, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$	$(\frac{1}{2}, + \infty)$
$f^{'} (x)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$- \infty ↗ 0$	$\frac{3}{2}$	$↗$	$\frac{12}{7}$	$0 ↘ + \infty$

Szkicujemy wykres funkcji:

Odczytujemy z wykresu liczbę rozwiązań równania $f (x) = m .$

Dla $m \in (- \infty, 0 ⟩ \cup (\frac{12}{7}, + \infty)$ równanie nie ma rozwiązań.

Dla $m = \frac{12}{7}$ równanie ma jedno rozwiązanie.

Dla $m \in (0, \frac{12}{7})$ równanie ma dwa rozwiązania.

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.