$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{9-x^2}{x^2-1}$  

$1.$  Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2-1\ne 0$  

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ne 0$  

$x\ne 1\wedge x\ne -1$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-1,1\right\}$  

 

$2.$  Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś  $y-$  obliczamy  $f\left(0\right).$         

$f\left(0\right)=\frac{9}{-1}=-9\Rightarrow$  wykres przecina oś  $OY$  w punkcie  $\left(0,-9\right)$  

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś  $OX,$  rozwiązujemy równanie  $f\left(x\right)=0:$        

$\frac{9-x^2}{x^2-1}=0\text{/}\cdot \left(x^2-1\right)\ne 0$  

$9-x^2=0$  

$\left(3-x\right)\left(3+x\right)=0$  

$x=3\vee x=-3$  

 

Zatem wykres funkcji  $f$  przecina oś  $OX$  w punktach  $\left(-3,0\right)$  i  $\left(3,0\right).$   

 

$3.$  Obliczamy granice na końcach przedziałów, w których funkcja  $f$  jest określona. 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{\frac{9}{x^2}-1}{1-\frac{1}{x^2}}\right)=-1$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\frac{9}{x^2}-1}{1-\frac{1}{x^2}}\right)=-1$    

Prosta  $y=-1$  jest obustronną asymptotą poziomą wykresu funkcji  $f.$   

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)\stackrel{\left[\frac{8}{0^{+}}\right]}{=}+\infty$  

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)\stackrel{\left[\frac{8}{0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)\stackrel{\left[\frac{8}{0^{-}}\right]}{=}-\infty$  

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)\stackrel{\left[\frac{8}{0^{+}}\right]}{=}+\infty$  

Proste  $x=-1$  oraz  $x=1$  są asymptotami pionowymi (obustronnymi) wykresu funkcji  $f.$   

 

$4.$  Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{9-x^2}{x^2-1}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{-2x\left(x^2-1\right)-\left(9-x^2\right)\cdot 2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-2x\left(x^2-1+9-x^2\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-2x\cdot 8}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-16x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę:  $D_{f{}^{\prime }}=\mathbf{R}-\left\{-1,1\right\}.$  

 

$5.$  Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji  $f.$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{-16x}{{\left(x^2-1\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2-1\right)}^2\ne 0$  

$-16x=0\mid :\left(-16\right)$  

$x=0$  

Zauważmy, że we wzorze pochodnej:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-16x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$  

mianownik jest zawsze dodatni, a licznik jest funkcją liniową malejącą, której miejscem zerowym jest 0. Stąd znak pochodnej jest taki sam jak znak wyrażenia -16x:

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-\infty ,0\right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(0,+\infty \right)$  

Zatem funkcja f jest rosnąca w przedziałach  $\left(-\infty ,-1\right),(-1,0⟩,$  a malejąca w przedziałach  $⟨0,1)$  oraz  $\left(1,+\infty \right).$  

Funkcja osiąga maksimum lokalne dla  $x=0.$

$f\left(0\right)=\frac{9}{-1}=-9$  

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-3,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,3\right)$	$3$	$\left(3,\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$+$	$+$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$-$	$-$	$+$
$f\left(x\right)$	$-1\nearrow$	$0$	$\nearrow +\infty$	$\times$	$-\infty \nearrow$	$-9$	$\searrow -\infty$	$\times$	$+\infty \searrow$	$0$	$\searrow -1$