$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{6x}{x^2+1}$  

$1.$  Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2+1\ne 0$  

$D_f=\mathbf{R}$  

 

$2.$  Znajdujemy punkty przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Sprawdzamy, w jakim punkcie wykres przecina oś  $y-$  obliczamy  $f\left(0\right).$         

$f\left(0\right)=0\Rightarrow$  wykres przecina oś  $OY$  w punkcie  $\left(0,0\right)$  

By znaleźć punkty, w których wykres przecina oś  $OX,$  rozwiązujemy równanie  $f\left(x\right)=0:$        

$\frac{6x}{x^2+1}=0\text{/}\cdot \left(x^2+1\right)$  

$6x=0$  

$x=0$  

Zatem wykres funkcji  $f$  przecina oś  $OX$  w punkcie  $\left(0,0\right).$

 

$3.$  Określamy granice funkcji  $f$  w  $-\infty$  i w  $+\infty .$      

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{6x}{x^2+1}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}\right)\stackrel{\left[\frac{0}{1}\right]}{=}0$    

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{6x}{x^2+1}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\frac{6}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}\right)\stackrel{\left[\frac{0}{1}\right]}{=}0$    

Prosta  $y=0$  jest obustronną asymptotą poziomą wykresu funkcji  $f.$   

 

$4.$  Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{6x}{x^2+1}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{6\left(x^2+1\right)-2x\cdot 6x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{6x^2+6-12x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-6x^2+6}{{\left(x^2+1\right)}^2}$   

i określamy jej dziedzinę:  $D_{f{}^{\prime }}=\mathbf{R}.$  

 

$5.$  Wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji  $f.$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{-6x^2+6}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2+1\right)}^2$  

$-6x^2+6=0$  

$-6\left(x^2-1\right)=0$  

$-6\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$  

$x=-1\vee x=1$  

Szkicujemy wykres funkcji  $y=-6\left(x-1\right)\left(x+1\right):$  

i odczytujemy z niego rozwiązania nierówności:

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  dla  $x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  dla  $x\in \left(-1,1\right)$  

Zatem funkcja jest malejąca w przedziałach  $(-\infty ,-1⟩$  oraz  $⟨1,+\infty ),$  a rosnąca w przedziale  $⟨-1,1⟩.$  

Funkcja osiąga minimum dla  $x=-1,$  a maksimum dla  $x=1.$  

$f\left(-1\right)=-\frac{6}{2}=-3$   

$f\left(1\right)=\frac{6}{2}=3$   

 

Otrzymane wyniki zbieramy w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ,-1\right)$	$-1$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$1$	$\left(1,\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	$0\searrow -\infty$	$-3$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$3$	$\infty \searrow 0$