$a)f\left(x\right)=\sin 3x$  

Podstawienie:

$3x=u$  

$\sin \left(u\right)$  

Okres Podstawowy:

$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

$\sin \left(3\left(x+T\right)\right)=\sin \left(3x\right)$   

$\sin \left(3x+3T\right)=\sin \left(3x+2\pi \right)$  

$3x+3T=3x+2\pi$  

$3T=2\pi$

$T=\frac{2\pi }{3}$   

Miejsca zerowe:

$u=k\pi ,k\in C$  

$3x=k\pi ,k\in C$  

$x=\frac{k\pi }{3},k\in C$  

 

 

$b)f\left(x\right)=\sin \left(\frac{x}{4}\right)$  

Podstawienie:

$\frac{x}{4}=u$  

Okres Podstawowy:

$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

$\sin \left(\frac{x+T}{4}\right)=\sin \left(\frac{x}{4}\right)$   

$\sin \left(\frac{x}{4}+\frac{T}{4}\right)=\sin \left(\frac{x}{4}+2\pi \right)$  

$\frac{x}{4}+\frac{T}{4}=\frac{x}{4}+2\pi$  

$\frac{T}{4}=2\pi$

$T=8\pi$   

Miejsca zerowe:

$u=k\pi ,k\in C$  

$\frac{x}{4}=k\pi ,k\in C$  

$x=4k\pi ,k\in C$

 

 

$c)f\left(x\right)=-\sin \left(\frac{2x}{3}\right)$  

Podstawienie:

$\frac{2x}{3}=u$  

Okres Podstawowy:

$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

$\sin \left(\frac{2}{3}\left(x+T\right)\right)=\sin \left(\frac{2x}{3}+2\pi \right)$

$\sin \left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}T\right)=\sin \left(\frac{2x}{3}+2\pi \right)$  

$\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}T=\frac{2x}{3}+2\pi$

$\frac{2}{3}T=2\pi$  

$T=3\pi$     

Miejsca zerowe:

$u=k\pi ,k\in C$  

$\frac{2x}{3}=k\pi ,k\in C$  

$x=\frac{3}{2}k\pi ,k\in C$  

 

 

$d)f\left(x\right)=2\sin \pi x$  

Podstawienie:

$\pi x=u$  

Okres Podstawowy:

$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$  

$\sin \left(\pi \left(x+T\right)\right)=\sin \left(\pi x+2\pi \right)$

$\pi x+\pi T=\pi x+2\pi$  

$\pi T=2\pi$

$T=2$  

Miejsca zerowe:

$u=k\pi ,k\in C$  

$\pi x=k\pi ,k\in C$  

$x=k,k\in C$

 

 

$e)f\left(x\right)=\cos 2x$  

Podstawienie:

$2x=u$

Okres Podstawowy:

$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

$\cos \left(2\left(x+T\right)\right)=\cos \left(2x+2\pi \right)$  

$2x+2T=2x+2\pi$

$2T=2\pi$

$T=\pi$

Miejsca zerowe:

$u=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in C$

$2x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in C$

$x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in C$

 

 

$f)f\left(x\right)=3\frac{\cos x}{2}$  

Podstawienie:

$\frac{x}{2}=u$  

Okres Podstawowy:

$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

$3\cos \left(\frac{x+T}{2}\right)=3\cos \left(\frac{x}{2}+2\pi \right)$  

$\frac{x}{2}+\frac{T}{2}=\frac{x}{2}+2\pi$

$\frac{T}{2}=2\pi$

$T=4\pi$

Miejsca zerowe:

$u=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in C$

$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in C$

$x=\pi +2k\pi ,k\in C$    

 

 

$g)f\left(x\right)=2\cos 4x$

Podstawienie:

$4x=u$

Okres Podstawowy:

$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

$2\cos \left(4\left(x+T\right)\right)=2\cos \left(4x+2\pi \right)$  

$4x+4T=4x+2\pi$

$4T=2\pi$

$T=\frac{\pi }{2}$

Miejsca zerowe:

$u=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in C$  

$4x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in C$

$x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in C$

 

 

  $h)f\left(x\right)=-\frac{\cos x}{4}$  

Podstawienie:

$\frac{x}{4}=u$

Okres Podstawowy:

$f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$

$-\cos \left(\frac{x+T}{4}\right)=-\cos \left(\frac{x}{4}+2\pi \right)$

$\frac{x}{4}+\frac{T}{4}=\frac{x}{4}+2\pi$

$\frac{T}{4}=2\pi$

$T=8\pi$

Miejsca zerowe:

$u=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in C$

$\frac{x}{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in C$

$x=2\pi +4k\pi ,k\in C$