f(x)=ax+b, a=tgα, α∈⟨0o; 180o)
a)
a=43 ⇒ f(x)=43x+b
A=(2, 3) ⇒ f(2)=3
43⋅2+b=3
23+b=3 ∣−23
b=3−23=3−121=121
f(x)=43x+121
b)
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
sin2α+cos2α=1
sin2α+(178)2=1
sin2α+28964=1 ∣−28964
sin2α=289225
sinα=1715 ∨ sinα=−1715
Ale alfa to kąt ostry lub rozwarty (I lub II ćwiartka), więc wartość sinusa jest dodatnia, dlatego odrzucamy drugą możliwość.
(Można także wnioskować w ten sposób - skoro wartość cosinusa podana w zadaniu jest ujemna, to kąt musi być ostry, a wartość sinusa kąta ostrego jest dodatnia)
sinα=1715
a=tgα=cosαsinα=1781715=1715:178=1715⋅817=815 ⇒ f(x)=815x+b
A=(16,12) ⇒ f(16)=12 A=(16,12) ⇒ f(16)=12
8115⋅162+b=12
30+b=12 ∣−30
b=−18
f(x)=815x−18
c)
a=tgα=ctgα1=−521=−25 ⇒ f(x)=−25x+b
A=(6, 5) ⇒ f(6)=5
−215⋅63+b=5
−15+b=5 ∣+15
b=20
f(x)=−25x+20
d)
Ponownie korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
sin2α+cos2α=1
(1312)2+cos2α=1
169144+cos2α=1 ∣−169144
cos2α=16925
cosα=135 ∨ cosα=−135
Cosinus dla kątów ostrych jest dodatni, a dla kątów rozwartych jest ujemny, więc tym razem nie odrzucamy żadnej odpowiedzi. Mamy dwa przypadki:
a1=1351312=1312:135=1312⋅513=512 ⇒ f1(x)=512x+b1
a2=−1351312=−512 ⇒ f2(x)=−512x+b2
A=(−1, −4) ⇒ f1(−1)=−4
512⋅(−1)+b1=−4
−512+b1=−4 ∣+512
b1=−4+512=−4+252=−153
f1(x)=512x−153
A=(−1, −4) ⇒ f2(−1)=−4
−512⋅(−1)+b2=−4
512+b2=−4 ∣−512
b2=−4−512=−4−252=−652
f2(x)=−512x−652
e)
sin2α+cos2α=1
sin2α+(−6160)2=1
sin2α+37213600=1 ∣−37213600
sin2α=3721121
sinα=6111 ∨ sinα=−6111
Analizując dokładnie tak samo jak w b) odrzucamy drugą odpowiedź, czyli:
sinα=6111
a=tgα=cosαsinα=−61606111=6111:(−6160)=6111⋅(−6061)=−6011 ⇒ f(x)=−6011x+b
A=(12, −6) ⇒ f(12)=−6
−60511⋅121+b=−6
−511+b=−6 ∣+511
b=−6+511=−6+251=−354
f(x)=−6011x−354
f)
sin2α+cos2α=1
(54)2+cos2α=1
2516+cos2α=1 ∣−2516
cos2α=259
cosα=53 ∨ cosα=−53
Cosinus dla kątów ostrych jest dodatni, a dla kątów rozwartych jest ujemny, więc tym razem nie odrzucamy żadnej odpowiedzi. Mamy dwa przypadki:
a1=5354=54:53=54⋅35=34 ⇒ f1(x)=34x+b1
a2=−5354=−34 ⇒ f2(x)=−34x+b2
A=(−2, 221) ⇒ f1(−2)=221
34⋅(−2)+b1=221
−38+b1=221 ∣+38
b1=221+38=263+264=67=561
f1(x)=34x+561
A=(−2, 221) ⇒ f2(−2)=221
−34⋅(−2)+b2=221
38+b2=221 ∣−38
b2=221−38=263−232=63−32=63−64=−61
f2(x)=−34x−61