$f\left(x\right)=ax+b,a=\mathrm{tg}\alpha ,\alpha \in ⟨0^o;{180}^o)$

 

 

$a)$

$a=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{3}{4}x+b$

 

$A=\left(2,3\right)\Rightarrow f\left(2\right)=3$

$\frac{3}{4}\cdot 2+b=3$

$\frac{3}{2}+b=3\mid -\frac{3}{2}$

$b=3-\frac{3}{2}=3-1\frac{1}{2}=1\frac{1}{2}$

 

$\underline{\underline{f\left(x\right)=\frac{3}{4}x+1\frac{1}{2}}}$

 

 

 

$b)$

Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{8}{17}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha +\frac{64}{289}=1\mid -\frac{64}{289}$

${\sin }^2\alpha =\frac{225}{289}$

$\sin \alpha =\frac{15}{17}\vee \sin \alpha =-\frac{15}{17}$

Ale alfa to kąt ostry lub rozwarty (I lub II ćwiartka), więc wartość sinusa jest dodatnia, dlatego odrzucamy drugą możliwość.

 

(Można także wnioskować w ten sposób - skoro wartość cosinusa podana w zadaniu jest ujemna, to kąt musi być ostry, a wartość sinusa kąta ostrego jest dodatnia)

$\sin \alpha =\frac{15}{17}$

$a=\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}=\frac{15}{17}:\frac{8}{17}=\frac{15}{17}\cdot \frac{17}{8}=\frac{15}{8}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{15}{8}x+b$

 

$A=\left(16,12\right)\Rightarrow f\left(16\right)=12$ $A=\left(16,12\right)\Rightarrow f\left(16\right)=12$

$\frac{15}{{\sout{8}}^1}\cdot {\sout{16}}^2+b=12$

$30+b=12\mid -30$

$b=-18$

 

$\underline{\underline{f\left(x\right)=\frac{15}{8}x-18}}$

 

 

 

$c)$

$a=\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{ctg}\alpha }=\frac{1}{-\frac{2}{5}}=-\frac{5}{2}\Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{5}{2}x+b$

 

$A=\left(6,5\right)\Rightarrow f\left(6\right)=5$

$-\frac{5}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{6}}^3+b=5$

$-15+b=5\mid +15$

$b=20$

 

$\underline{\underline{f\left(x\right)=-\frac{5}{2}x+20}}$

 

 

 

$d)$

Ponownie korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{144}{169}+{\cos }^2\alpha =1\mid -\frac{144}{169}$

${\cos }^2\alpha =\frac{25}{169}$

$\cos \alpha =\frac{5}{13}\vee \cos \alpha =-\frac{5}{13}$

 

Cosinus dla kątów ostrych jest dodatni, a dla kątów rozwartych jest ujemny, więc tym razem nie odrzucamy żadnej odpowiedzi. Mamy dwa przypadki:

$a_1=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{13}:\frac{5}{13}=\frac{12}{13}\cdot \frac{13}{5}=\frac{12}{5}\Rightarrow f_1\left(x\right)=\frac{12}{5}x+b_1$

$a_2=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=-\frac{12}{5}\Rightarrow f_2\left(x\right)=-\frac{12}{5}x+b_2$

 

$A=\left(-1,-4\right)\Rightarrow f_1\left(-1\right)=-4$

$\frac{12}{5}\cdot \left(-1\right)+b_1=-4$

$-\frac{12}{5}+b_1=-4\mid +\frac{12}{5}$

$b_1=-4+\frac{12}{5}=-4+2\frac{2}{5}=-1\frac{3}{5}$

 

$\underline{\underline{f_1\left(x\right)=\frac{12}{5}x-1\frac{3}{5}}}$

 

 

$A=\left(-1,-4\right)\Rightarrow f_2\left(-1\right)=-4$

$-\frac{12}{5}\cdot \left(-1\right)+b_2=-4$

$\frac{12}{5}+b_2=-4\mid -\frac{12}{5}$

$b_2=-4-\frac{12}{5}=-4-2\frac{2}{5}=-6\frac{2}{5}$

 

$\underline{\underline{f_2\left(x\right)=-\frac{12}{5}x-6\frac{2}{5}}}$

 

 

 

 

$e)$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{60}{61}\right)}^2=1$

${\sin }^2\alpha +\frac{3600}{3721}=1\mid -\frac{3600}{3721}$

${\sin }^2\alpha =\frac{121}{3721}$

$\sin \alpha =\frac{11}{61}\vee \sin \alpha =-\frac{11}{61}$

Analizując dokładnie tak samo jak w b) odrzucamy drugą odpowiedź, czyli: 

$\sin \alpha =\frac{11}{61}$

$a=\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{11}{61}}{-\frac{60}{61}}=\frac{11}{61}:\left(-\frac{60}{61}\right)=\frac{11}{61}\cdot \left(-\frac{61}{60}\right)=-\frac{11}{60}\Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{11}{60}x+b$

 

$A=\left(12,-6\right)\Rightarrow f\left(12\right)=-6$

$-\frac{11}{{\sout{60}}^5}\cdot {\sout{12}}^1+b=-6$

$-\frac{11}{5}+b=-6\mid +\frac{11}{5}$

$b=-6+\frac{11}{5}=-6+2\frac{1}{5}=-3\frac{4}{5}$

 

$\underline{\underline{f\left(x\right)=-\frac{11}{60}x-3\frac{4}{5}}}$

 

 

 

$f)$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

${\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$

$\frac{16}{25}+{\cos }^2\alpha =1\mid -\frac{16}{25}$

${\cos }^2\alpha =\frac{9}{25}$

$\cos \alpha =\frac{3}{5}\vee \cos \alpha =-\frac{3}{5}$

Cosinus dla kątów ostrych jest dodatni, a dla kątów rozwartych jest ujemny, więc tym razem nie odrzucamy żadnej odpowiedzi. Mamy dwa przypadki:

$a_1=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{3}=\frac{4}{3}\Rightarrow f_1\left(x\right)=\frac{4}{3}x+b_1$

$a_2=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{4}{3}\Rightarrow f_2\left(x\right)=-\frac{4}{3}x+b_2$

 

$A=\left(-2,2\frac{1}{2}\right)\Rightarrow f_1\left(-2\right)=2\frac{1}{2}$

$\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)+b_1=2\frac{1}{2}$

$-\frac{8}{3}+b_1=2\frac{1}{2}\mid +\frac{8}{3}$

$b_1=2\frac{1}{2}+\frac{8}{3}=2\frac{3}{6}+2\frac{4}{6}=\frac{7}{6}=5\frac{1}{6}$

$\underline{\underline{f_1\left(x\right)=\frac{4}{3}x+5\frac{1}{6}}}$

 

 

$A=\left(-2,2\frac{1}{2}\right)\Rightarrow f_2\left(-2\right)=2\frac{1}{2}$

$-\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)+b_2=2\frac{1}{2}$

$\frac{8}{3}+b_2=2\frac{1}{2}\mid -\frac{8}{3}$

$b_2=2\frac{1}{2}-\frac{8}{3}=2\frac{3}{6}-2\frac{2}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{3}=\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=-\frac{1}{6}$

$\underline{\underline{f_2\left(x\right)=-\frac{4}{3}x-\frac{1}{6}}}$