$a,b>0$

 Zapisujemy układ równań (pierwsze równanie otrzymujemy z tw. Pitagorasa, a drugie z informacji o obwodzie, która jest w treści zadania)

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2={10}^2\\ a+b+10=24\mid -10-b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=100\\ a=14-b\end{array}$

Wstawiamy a wyliczone w drugim równaniu do pierwszego równania: 

${\left(14-b\right)}^2+b^2=100$

${14}^2-2\cdot 14\cdot b+b^2+b^2=100$

$196-28b+2b^2=100\mid -100$

$2b^2-28b+96=0\mid :2$

$b^2-14b+48=0$

$\Delta ={\left(-14\right)}^2-4\cdot 1\cdot 48=196-192=4$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}=2$

$b_1=\frac{14-2}{2}=\frac{12}{2}=6$

$b_2=\frac{14+2}{2}=\frac{16}{2}=8$

$\{\begin{array}{l}b=6\\ a=14-6=8\end{array}lub\{\begin{array}{l}b=8\\ a=14-8=6\end{array}$

Zatem boki tego prostokąta mają długość 6 i 8 

$P_{\square }=6\cdot 8=48$

$O_{\square }=2\cdot \left(6+8\right)=2\cdot 14=28$