Matematyka

Rozwiąż graficznie układ równań. Sprawdź otrzymane rozwiązanie 4.58 gwiazdek na podstawie 12 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż graficznie układ równań. Sprawdź otrzymane rozwiązanie

1
 Zadanie

2
 Zadanie

3
 Zadanie
4
 Zadanie
5
 Zadanie
6
 Zadanie

W każdym układzie przekształcamy równania do postaci kierunkowej. Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

`a)`

`{(3x+2y=4\ \ \ \|-3x), (3x=2-2y\ \ \ |-2):}`

`{(2y=-3x+4\ \ \ |:2), (-2y=3x-2\ \ \ \|:(-2)):}`

`{(y=-3/2x+2), (y=-3/2x+1):}`

 

`y=-3/2x+2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*0+2=0+2=2`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*2+2=-3+2=-1`

 

 

`y=-3/2x+1`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*0+1=0+1=1`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*2+1=-3+1=-2`

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

`{(3x+2y=4), (3x=2-2y):}`

`{(2-2y+2y=4), (3x=2-2y):}`

`{(2=4), (3x=2-2y):}`

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ jest spreczny. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

 

 

`b)`

`{(y=2/3x+2), (-2x+3y=6\ \ \ |+2x):}`

`{(y=2/3x+2), (3y=2x+6\ \ \ \|:3):}`

`{(y=2/3x+2) , (y=2/3x+2):}`

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*0+2=0+2=2`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*3+2=2+2=4`

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

`{(y=2/3x+2), (x in RR):}`

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

`{(y=2/3x+2), (-2x+3y=6):}`

`{(y=2/3x+2), (-2x+3(2/3x+2)=6):}`

`{(y=2/3x+2), (-2x+2x+6=6):}`

`{(y=2/3x+2) , (6=6):}`

Druga równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony.

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

`c)`

`{(0.5x+2y=1), (y=2-x):}`

`{(1/2x+2y=1\ \ \ |-1/2x), (y=-x+2):}`

`{(2y=-1/2x+1\ \ \ |:2), (y=-x+2):}`

`{(y=-1/4x+1/2), (y=-x+2):}`

 

`y=-1/4x+1/2`

`x=6\ \ \ ->\ \ \ y=-1/4*6+1/2=-3/2+1/2=-2/2=-1`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-1/4*2+1/2=-1/2+1/2=0`

 

 

`y=-x+2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0+2=0+2=2`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1+2=1`

 

`{(x=2), (y=0):}`

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

`{(0.5*2+2*0#=^?1), (0#=^?2-2):}`

`{(1+0=1), (0=0):}`

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

 

`d)`

`{(y-0.1x=0\ \ \ |+0.1x), ((y-1)/3=0\ \ \ |*3):}`

`{(y=0.1x) , (y-1=0\ \ \ \|+1):}`

`{(y=0.1x), (y=1):}`

 

`y=0,1x`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0,1*0=0`

`x=10\ \ \ ->\ \ \ y=0,1*10=1`

 

 

`{(x=10), (y=1):}`

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

`{(1-0.1*10#=^?0), ((1-1)/3#=^?0):}`

`{(1-1=0), (0/3=0):}`

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

`e)`

`{(y=6x+2), ((3-y)/2+3x=0\ \ \ |*2):}`

`{(y=6x+2), (3-y+6x=0\ \ \ |+y):}`

`{(y=6x+2), (y=6x+3):}`

 

 

`y=6x+2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=6*0+2=0+2=2`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=6*(-1)+2=-6+2=-4`

 

 

`y=6x+3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=6*0+3=0+3=3`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=6*(-1)+3=-6+3=-3`

 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

`{(y=6x+2), ((3-y)/2+3x=0):}`

`{(y=6x+2), ((3-(6x+2))/2+3x=0):}`

`{(y=6x+2), ((3-6x-2)/2+3x=0):}`

`{(y=6x+2), ((1-6x)/2+3x=0):}`

`{(y=6x+2), (1/2-(6x)/2+3x=0):}`

`{(y=6x+2), (1/2-3x+3x=0):}`

`{(y=6x+2), (1/2=0):}`

Druga równość jest nieprawdziwa, więc układ jest sprzeczny. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

 

`f)`

`{(2y-1=x\ \ \ |+1), (6y-3x=3\ \ \ |+3x):}`

`{(2y=x+1\ \ \ |:2), (6y=3x+3\ \ \ |:6):}`

`{(y=1/2x+1/2), (y=1/2x+1/2):}`

 Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*1+1/2=1/2+1/2=1`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*3+1/2=3/2+1/2=4/2=2`

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

`{(y=1/2x+1/2), (x in RR):}`

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

`{(2y-1=x), (6y-3x=3):}`

`{(x=2y-1), (6y-3(2y-1)=3):}`

`{(x=2y-1), (6y-6y+3=3):}`

`{(x=2y-1), (3=3):}`

Druga równość jest zawsze spełniona, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Wyrażenie dwumianowane

Wyrażenia dwumianowe to wyrażenia, w których występują dwie jednostki tego samego typu.

Przykłady: 5 zł 30 gr, 2 m 54 cm, 4 kg 20 dag.

Wyrażenia dwumianowe możemy zapisać w postaci ułamka dziesiętnego.

Przykład: 3 m 57 cm = 3,57 cm , bo 57 cm to 0,57 m.

Jednostki:

  • 1 cm = 10 mm; 1 mm = 0,1 cm
  • 1 dm = 10 cm; 1 cm = 0,1 dm
  • 1 m = 100 cm; 1 cm = 0,01 m
  • 1 m = 10 dm; 1 dm = 0,1 m
  • 1 km = 1000 m; 1 m = 0,001 km
  • 1 zł = 100 gr; 1 gr = 0,01 zł
  • 1 kg = 100 dag; 1 dag = 0,01 kg
  • 1 dag = 10 g; 1 g = 0,1 dag
  • 1 kg = 1000 g; 1 g = 0,001 kg
  • 1 t = 1000 kg; 1 kg = 0,001 t

Przykłady zamiany jednostek:

  • 10 zł 80 gr = 1000 gr + 80 gr = 1080 gr
  • 16 gr = 16•0,01zł = 0,16 zł
  • 1 zł 52 gr = 1,52 zł
  • 329 gr = 329•0,01zł = 3,29 zł
  • 15 kg 60 dag = 1500dag + 60dag = 1560 dag
  • 23 dag = 23•0,01kg = 0,23 kg
  • 5 kg 62 dag = 5,62 kg
  • 8 km 132 m = 8000 m+132 m = 8132 m
  • 23 cm 3 mm = 230 mm + 3 mm = 233 mm
  • 39 cm = 39•0,01m = 0,39 m
Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Przykład:

osie liczbowe

Odcinek jednostkowy na tej osi to część prostej między -1 i 0.

Po prawej stronie od 0 znajduje się zbiór liczb nieujemnych, a po lewej zbiór liczb niedodatnich. Grot strzałki wskazuje, że w prawą stronę rosną wartości współrzędnych. Oznacza to, że wśród wybranych dwóch współrzędnych większą wartość ma ta, która leży po prawej stronie (względem drugiej współrzędnej).

Zobacz także
Udostępnij zadanie