Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2015

Rozwiąż graficznie układ równań. Sprawdź otrzymane rozwiązanie 4.58 gwiazdek na podstawie 12 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż graficznie układ równań. Sprawdź otrzymane rozwiązanie

1
 Zadanie

2
 Zadanie

3
 Zadanie
4
 Zadanie
5
 Zadanie
6
 Zadanie

W każdym układzie przekształcamy równania do postaci kierunkowej. Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

`a)` 

`{(3x+2y=4\ \ \ \|-3x), (3x=2-2y\ \ \ |-2):}` 

`{(2y=-3x+4\ \ \ |:2), (-2y=3x-2\ \ \ \|:(-2)):}`

`{(y=-3/2x+2), (y=-3/2x+1):}` 

 

`y=-3/2x+2` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*0+2=0+2=2` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*2+2=-3+2=-1` 

 

 

`y=-3/2x+1` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*0+1=0+1=1` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*2+1=-3+1=-2` 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

`{(3x+2y=4), (3x=2-2y):}` 

`{(2-2y+2y=4), (3x=2-2y):}` 

`{(2=4), (3x=2-2y):}` 

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ jest spreczny. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

 

`b)` 

`{(y=2/3x+2), (-2x+3y=6\ \ \ |+2x):}` 

`{(y=2/3x+2), (3y=2x+6\ \ \ \|:3):}` 

`{(y=2/3x+2) , (y=2/3x+2):}` 

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*0+2=0+2=2` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*3+2=2+2=4` 

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

`{(y=2/3x+2), (x in RR):}` 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

`{(y=2/3x+2), (-2x+3y=6):}` 

`{(y=2/3x+2), (-2x+3(2/3x+2)=6):}` 

`{(y=2/3x+2), (-2x+2x+6=6):}` 

`{(y=2/3x+2) , (6=6):}` 

Druga równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony.

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

`c)` 

`{(0.5x+2y=1), (y=2-x):}`  

`{(1/2x+2y=1\ \ \ |-1/2x), (y=-x+2):}` 

`{(2y=-1/2x+1\ \ \ |:2), (y=-x+2):}` 

`{(y=-1/4x+1/2), (y=-x+2):}` 

 

`y=-1/4x+1/2` 

`x=6\ \ \ ->\ \ \ y=-1/4*6+1/2=-3/2+1/2=-2/2=-1`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-1/4*2+1/2=-1/2+1/2=0` 

 

 

`y=-x+2` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0+2=0+2=2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1+2=1` 

 

`{(x=2), (y=0):}` 

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

`{(0.5*2+2*0#=^?1), (0#=^?2-2):}` 

`{(1+0=1), (0=0):}` 

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

 

`d)` 

`{(y-0.1x=0\ \ \ |+0.1x), ((y-1)/3=0\ \ \ |*3):}` 

`{(y=0.1x) , (y-1=0\ \ \ \|+1):}` 

`{(y=0.1x), (y=1):}` 

 

`y=0,1x` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0,1*0=0` 

`x=10\ \ \ ->\ \ \ y=0,1*10=1` 

 

 

`{(x=10), (y=1):}` 

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

`{(1-0.1*10#=^?0), ((1-1)/3#=^?0):}` 

`{(1-1=0), (0/3=0):}` 

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

`e)` 

`{(y=6x+2), ((3-y)/2+3x=0\ \ \ |*2):}` 

`{(y=6x+2), (3-y+6x=0\ \ \ |+y):}` 

`{(y=6x+2), (y=6x+3):}` 

 

 

`y=6x+2` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=6*0+2=0+2=2` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=6*(-1)+2=-6+2=-4` 

 

 

`y=6x+3` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=6*0+3=0+3=3` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=6*(-1)+3=-6+3=-3` 

 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

`{(y=6x+2), ((3-y)/2+3x=0):}` 

`{(y=6x+2), ((3-(6x+2))/2+3x=0):}`   

`{(y=6x+2), ((3-6x-2)/2+3x=0):}` 

`{(y=6x+2), ((1-6x)/2+3x=0):}` 

`{(y=6x+2), (1/2-(6x)/2+3x=0):}` 

`{(y=6x+2), (1/2-3x+3x=0):}` 

`{(y=6x+2), (1/2=0):}` 

Druga równość jest nieprawdziwa, więc układ jest sprzeczny. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

 

`f)` 

`{(2y-1=x\ \ \ |+1), (6y-3x=3\ \ \ |+3x):}` 

`{(2y=x+1\ \ \ |:2), (6y=3x+3\ \ \ |:6):}` 

`{(y=1/2x+1/2), (y=1/2x+1/2):}` 

 Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*1+1/2=1/2+1/2=1` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*3+1/2=3/2+1/2=4/2=2` 

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

`{(y=1/2x+1/2), (x in RR):}` 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

`{(2y-1=x), (6y-3x=3):}` 

`{(x=2y-1), (6y-3(2y-1)=3):}` 

`{(x=2y-1), (6y-6y+3=3):}` 

`{(x=2y-1), (3=3):}` 

Druga równość jest zawsze spełniona, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.