$a)$

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do podanej prostej (potrzebne do narysowania wykresu):

$y=-x+2$

$x=1\to y=-1+2=1$

$x=5\to y=-5+2=-3$

 

Podstawa AB trójkąta ABP ma długość 6, a wysokość poprowadzona z punktu P ma długość 4. 

$P_{\Delta ABP}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$

 

 

 

$b)$

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do podanej prostej:

$y=-2x+7$

$x=0\to y=-2\cdot 0+7=0+7=7$

$x=2\to y=-2\cdot 2+7=-4+7=3$

Obliczmy jeszcze dokładne współrzędne punktu P (na podstawie wykresu nie da się ich dokładnie określić)

$\{\begin{array}{l}y=-2x+7\\ y=2x-7\end{array}$

Lewe strony równań są takie same, więc możemy porównać prawe strony. 

$-2x+7=2x-7\mid -2x$

$-4x+7=-7\mid -7$

$-4x=-14\mid :\left(-4\right)$

$x=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}$

Podstawiamy do pierwszego równania: 

$y=-2\cdot \frac{7}{2}+7=-7+7=0$

$\{\begin{array}{l}x=3\frac{1}{2}\\ y=0\end{array}\to Q=\left(3\frac{1}{2},0\right)$

Zaznaczamy trapez ABQD:

Trapez podzieliliśmy poziomą linią na równoległobok o podstawie 6 i wysokości 1 oraz trójkąt o podstawie 6 i wysokośći 7. Pole trapezu to suma pól równoległoboku i trójkąta. 

$P_{ABQD}=6\cdot 1+\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{6}}^3\cdot 7=6+21=27$

 

 

$c)$

Najpierw obliczmy pole równoległoboku ABCD o podstawie 6 i wysokości 8

$P_{ABCD}=6\cdot 8=48$

$\frac{1}{2}{P}_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 48=24$

Musimy wiec podzielić równoległobok ABCD prostą pionową tak, aby każda z dwóch powstałych figur miała pole 24. 

Moglibyśmy próbować podzielić na trójkąt i trapez, ale maksymalne pole trójkąta (jak pokazuje rysunek) jest mniejsze niż 24:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=16\ne 24$

 

 

Zatem musimy przesuwać pionową linię w prawo. 

 

Powstaną wtedy dwa trapezy o wysokości 8 oraz podstawach a i 6-b oraz 6-a i b (długości 6-a oraz 6-b wynikają stąd, że podstawa równoległoboku ma długość 6). 

Pole każdego z tych trapezów ma być równe 24. 

$\{\begin{array}{l}\left(a+\left(6-b\right)\right)\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=24\\ \left(\left(6-a\right)+b\right)\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=24\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\left(a+6-b\right)\cdot 4=24\mid :4\\ \left(6-a+b\right)\cdot 4=24\mid :24\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a+6-b=6\mid -6\\ 6-a+b=6\mid -6\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a-b=0\mid +b\\ -a+b=0\mid +a\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=b\\ b=a\end{array}$

Otrzymaliśmy informację, że odcinki a i b muszą być równej długości. 

 

Teraz wystarczy zauważyć, że odcinki a i b w sumie mają długość 2:

$\{\begin{array}{l}a=b\\ a+b=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=b\\ b+b=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=b\\ b=1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}$

 

Skoro odcinki a i b mają mieć długość 1, to podział na dwie figury musi wyglądać następująco: 

$x=2-\text{roˊwnanie prostej pionowej}$