Matematyka

Autorzy:Jerzy Janowicz

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Sprawdź, które z poniższych równości są prawdziwe 4.2 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Sprawdź, które z poniższych równości są prawdziwe

4
 Zadanie
5
 Zadanie
6
 Zadanie
7
 Zadanie
8
 Zadanie
9
 Zadanie

10
 Zadanie

Warto pamiętać, że -1 podniesione do potęgi parzystej daje 1 (bo wtedy każdy minus ma "parę", a dwa minus dają plus), natomiast -1 podniesione do potęgi nieparzystej daje -1 (bo wtedy jeden minus nie ma "pary", dlatego wynik jest ujemny).

Lewą stronę równości oznaczylismy jako L, prawą stronę oznaczylismy jako P.

 

`a)` 

`I.` 

`L=(-1)^-1+(-1)^-2+(-1)^-3+(-1)^-4=-1+1+(-1)+1=0` 

`P=(-1)^-1*(-1)^-2*(-1)^3*(-1)^4=(-1)*1*(-1)*1=1` 

`L neP,\ \ \ "czyli równość nieprawdziwa"` 

 

 

`II.` 

`L=(-1)^-1+(-1)^-2+(-1)^-3+(-1)^-4+(-1)^-5=-1+1+(-1)+1+(-1)=-1` 

`P=(-1)^-1*(-1)^-2*(-1)^-3*(-1)^-4*(-1)^-5=-1*1*(-1)*1*(-1)=-1` 

`L=P,\ \ \ "czyli równość prawdziwa"` 

 

 

`III.` 

`L=(-1)^-1+(-1)^-2+(-1)^-3+(-1)^-4+(-1)^-5+(-1)^-6=-1+1+(-1)+1+(-1)+1=0` 

`P=(-1)^-1*(-1)^-2*(-1)^-3*(-1)^-4*(-1)^-5*(-1)^-6=-1*1*(-1)*1*(-1)*1=-1` 

`L ne P, \ \ \ "czyli równość nieprawdziwa"` 

 

 

`b)` 

Przeanalizujmy jeszcze, co by było dla n=-7.

`L=(-1)^-1+(-1)^-2+(-1)^-3+(-1)^-4+(-1)^-5+(-1)^-6+(-1)^-7=-1+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)=-1` 

`P=(-1)^-1*(-1)^-2*(-1)^-3*(-1)^-4*(-1)^-5*(-1)^-6*(-1)^-7=-1*1*(-1)*1*(-1)*1*(-1)=1` 

`L neP,\ \ \ "czyli równość nieprawdziwa"` 

Zauważ, że jeśli n jest liczbą parzystą to po lewej stronie pojawia się 0 - dwie kolejne potęgi to -1 i 1, więc w sumie dają 0. Natomiast po prawej stronie pojawia się 1 lub -1 (w zależności od tego, czy po podzieleniu n przez 2 mamy liczbę parzystą czy nie). Jeśli n było liczbą parzystą, to równość nigdy nie będzie prawdziwa - 0 nigdy nie będzie równe 1 lub -1.

 

Jeśli natomiast n jest liczbą nieparzystą, to po lewej stronie otrzymujemy -1, ponieważ wszystkie składniki, poza ostatnim sumują się do 0 (mamy pary, które dają 0), a ostatni składnik, czyli -1 do potęgi -n jest równy -1, bo n jest nieparzyste.

Po prawej stronie otrzymamy 1 tylko wtedy, gdy ilość potęg nieparzystych jest także nieparzysta (wtedy jedna -1 nie ma "pary"). Jest tak dla n=5, kolejnym dobrym n będzie 9, 13 itd.

Równość zachodzi więc tylko dla tych liczb n, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1.  (W ODPOWIEDZIACH BŁĘDNIE PODANO, ŻE DLA WSZYSTKICH LICZB NIEPARZYSTYCH - PRZECIEŻ JUŻ DLA n=7 RÓWNOŚĆ NIE ZACHODZI!)