Matematyka

Policzmy to razem 2 (Podręcznik, Nowa Era)

Sprawdź, które z poniższych równości są prawdziwe 4.2 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Sprawdź, które z poniższych równości są prawdziwe

4
 Zadanie
5
 Zadanie
6
 Zadanie
7
 Zadanie
8
 Zadanie
9
 Zadanie

10
 Zadanie

Warto pamiętać, że -1 podniesione do potęgi parzystej daje 1 (bo wtedy każdy minus ma "parę", a dwa minus dają plus), natomiast -1 podniesione do potęgi nieparzystej daje -1 (bo wtedy jeden minus nie ma "pary", dlatego wynik jest ujemny).

Lewą stronę równości oznaczylismy jako L, prawą stronę oznaczylismy jako P.

 

`a)`

`I.`

`L=(-1)^-1+(-1)^-2+(-1)^-3+(-1)^-4=-1+1+(-1)+1=0`

`P=(-1)^-1*(-1)^-2*(-1)^3*(-1)^4=(-1)*1*(-1)*1=1`

`L neP,\ \ \ "czyli równość nieprawdziwa"`

 

 

`II.`

`L=(-1)^-1+(-1)^-2+(-1)^-3+(-1)^-4+(-1)^-5=-1+1+(-1)+1+(-1)=-1`

`P=(-1)^-1*(-1)^-2*(-1)^-3*(-1)^-4*(-1)^-5=-1*1*(-1)*1*(-1)=-1`

`L=P,\ \ \ "czyli równość prawdziwa"`

 

 

`III.`

`L=(-1)^-1+(-1)^-2+(-1)^-3+(-1)^-4+(-1)^-5+(-1)^-6=-1+1+(-1)+1+(-1)+1=0`

`P=(-1)^-1*(-1)^-2*(-1)^-3*(-1)^-4*(-1)^-5*(-1)^-6=-1*1*(-1)*1*(-1)*1=-1`

`L ne P, \ \ \ "czyli równość nieprawdziwa"`

 

 

`b)`

Przeanalizujmy jeszcze, co by było dla n=-7.

`L=(-1)^-1+(-1)^-2+(-1)^-3+(-1)^-4+(-1)^-5+(-1)^-6+(-1)^-7=-1+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)=-1`

`P=(-1)^-1*(-1)^-2*(-1)^-3*(-1)^-4*(-1)^-5*(-1)^-6*(-1)^-7=-1*1*(-1)*1*(-1)*1*(-1)=1`

`L neP,\ \ \ "czyli równość nieprawdziwa"`

Zauważ, że jeśli n jest liczbą parzystą to po lewej stronie pojawia się 0 - dwie kolejne potęgi to -1 i 1, więc w sumie dają 0. Natomiast po prawej stronie pojawia się 1 lub -1 (w zależności od tego, czy po podzieleniu n przez 2 mamy liczbę parzystą czy nie). Jeśli n było liczbą parzystą, to równość nigdy nie będzie prawdziwa - 0 nigdy nie będzie równe 1 lub -1.

 

Jeśli natomiast n jest liczbą nieparzystą, to po lewej stronie otrzymujemy -1, ponieważ wszystkie składniki, poza ostatnim sumują się do 0 (mamy pary, które dają 0), a ostatni składnik, czyli -1 do potęgi -n jest równy -1, bo n jest nieparzyste.

Po prawej stronie otrzymamy 1 tylko wtedy, gdy ilość potęg nieparzystych jest także nieparzysta (wtedy jedna -1 nie ma "pary"). Jest tak dla n=5, kolejnym dobrym n będzie 9, 13 itd.

Równość zachodzi więc tylko dla tych liczb n, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1.  (W ODPOWIEDZIACH BŁĘDNIE PODANO, ŻE DLA WSZYSTKICH LICZB NIEPARZYSTYCH - PRZECIEŻ JUŻ DLA n=7 RÓWNOŚĆ NIE ZACHODZI!)

DYSKUSJA
Informacje
Policzmy to razem 2
Autorzy: Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Wielokrotności

Wielokrotność liczby to dana liczba pomnożona przez 1,2,3,4,5 itd.
Inaczej mówiąc, wielokrotność liczby n to każda liczba postaci 1•n, 2•n, 3•n, 4•n, 5•n ...

Przykłady:

  • wielokrotnością liczby 4 jest:
    • 4, bo $$4=1•4$$
    • 8, bo $$8=2•4$$
    • 12, bo $$12=3•4$$
    • 16, bo $$16=4•4$$
    • 20, bo $$20=5•4$$
       
  • wielokrotnością liczby 8 jest:
    • 8, bo $$8=1•8$$
    • 16, bo $$16=2•8$$
    • 24, bo $$24=3•8$$
    • 32, bo $$32=4•8$$
    • 40, bo $$40=5•8$$
Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Zobacz także
Udostępnij zadanie