Krawędź czworościanu foremnego ma długość 8 cm... - Zadanie 14: Matematyka 2001 - strona 277
Matematyka
Matematyka 2001 (Podręcznik, WSiP)
Krawędź czworościanu foremnego ma długość 8 cm... 4.0 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Jeśli jedna bryła jest podobna do drugiej w skali k, to:

-stosunek długości odcinków pierwszej bryły do długości odpowiednich odcinków drugiej bryły jest równy k

-stosunek pola powierzchni pierwszej bryły do pola powierzchni drugiej bryły jest równy k2

-stosunek objętości pierwszej bryły do objętości drugiej bryły jest równy k3



wiemy, że krawędź czworościanu ma długość a=8 cm


obliczmy długość krawędzi czworościanu powiększonego w skali k=3


 


obliczmy długość krawędzi czworościanu powiększonego kolejny raz  tym razem w skali k=2

 


Obliczmy pole powierzchni całkowitej powiększonego dwukrotnie czworościanu:

 

 



Obliczmy objętość powiększonego dwukrotnie czworościanu:


 

Obliczmy wysokość tego czworościanu:

rysunek pomocniczy:



 

 

 

 

długość wysokości ostrosłupa  możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 


obliczmy objętość tego ostrosłupa:

 


Odp.: Pole tego ostrosłupa wynosi  , a objętość tego ostrosłupa wynosi  

DYSKUSJA
klasa:
III gimnazjum
Informacje
Autorzy: Praca zbiorowa
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
ISBN: 9788302161889
Autor rozwiązania
user profile

Ola

29109

Nauczyciel

Wiedza
Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$V=1/3 P_p×H$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $60°$.

Rysunek:

img13
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$a√2$

Zatem:

$a√2=2√2×√2=2×2=4$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

img14
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

img15

Zatem nasza wysokość to:

$H=2√3$

A ostatecznie objętość:

$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$
 
Pole całkowite ostrosłupa

Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$

$P_p$ - pole podstawy

$P_b$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)

Przykład:

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a=6$ i krawędzi bocznej $l=5$.

Zacznijmy od rysunku:

img09

Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:

$P_p=6×6=36$

Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).

Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.

img11
Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($a/2=3$):

img12
Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

$(a/2)^2+h^2=c^2$

$3^2+h^2=5^2$

$9+h^2=25$

$h^2=16$

$h=4$

$h$ jest naszą wysokością

Pole powierzchni bocznej $P_b$ to 4 pola tego samego trójkąta ($P_t$).

$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$

Liczymy powierzchnie boczną

$P_b=4P_t=4×12=48$

No to pole całkowite:

$P_c=P_p+P_b$

$P_c=36+48=84$
 
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom