Dziecko o masie...- Zadanie 10.5.7.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m = 30 kg$

$d = 1 m$

$x = 10 cm = 0, 1 m$

$x_{1} = 0, 5 m$

$h = 2, 8 m$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$ .

Szukane:

$h_{m a x} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest określenie, czy dziecko jest bezpieczne przy siatce o danej wysokości. Wiemy, że gdy dziecko stoi na trampolinie w chwili jej maksymalnego ugięcia, spoczywa - ma zerową prędkość. W związku z tym posiada jedynie energię potencjalną grawitacji, wynikającą z faktu, że znajduje się nad punktem odniesienia, za który najwygodniej przyjąć ziemię. Trampolina z kolei posiada energię potencjalną sprężystości związaną z jej ugięciem.

Gdy dziecko wybija się do góry, trampolina przekazuje mu energię potencjalną sprężystości, która jest zamieniana na energię potencjalną grawitacji oraz energię kinetyczną dziecka. Gdy trampolina znajdzie się w położeniu równowagi, nie przekazuje już energii dziecku, jednak dziecko nadal się wznosi, stopniowo zmniejszając swoją prędkość. W momencie osiągnięcia maksymalnej wysokości dziecko posiada już wyłącznie energię potencjalną grawitacji.

Zgodnie z zasadą zachowania energii całkowita energia na początku skoku musi być taka sama jak na jego końcu. Oznacza to, że suma energii potencjalnej grawitacji dziecka oraz energii potencjalnej sprężystości trampoliny musi być równa energii potencjalnej grawitacji, jaką dziecko będzie miało na maksymalnej wysokości. W związku z tym możemy zapisać równanie:

$E_{p . g 1} + E_{p . s} = E_{p . g 2}$

gdzie:

$E_{p . g 1}$ - energia potencjalna grawitacji na początku ruchu,

$E_{p . s}$ - energia potencjalna sprężystości,

$E_{p . g 2}$ - energia potencjalna grawitacji na maksymalnej wysokości.

Wiemy, że energia potencjalna sprężystości jest dana wzorem:

ENERGIA POTENCJALNA SPRĘŻYSTOŚCI

Energię potencjalną sprężystości wyznaczymy z zależności:

$E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$

gdzie:

$E_{p}$ - energia potencjalna sprężystości,

$k$ - współczynnik sprężystości,

$x$ - wychylenie z położenia równowagi (odkształcenie ciała sprężystego).

W powyższym równaniu mamy energię potencjalną sprężystości w momencie, w którym trampolina maksymalnie się ugina, więc możemy zapisać powyższy wzór w postaci:

$E_{p . s} = \frac{1}{2} k x_{1}^{2}$

gdzie:

$x_{1}$ - maksymalne ugięcie trampoliny.

Energię potencjalną grawitacji możemy obliczyć z zależności:

ENERGIA POTENCJALNA PRZY POWIERZCHNI ZIEMI

Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{p} = m g h$

gdzie:

$E_{p}$ - energia potencjalna ciała,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

Tak jak wcześniej ustaliliśmy, dziecko posiada energię potencjalną grawitacji zarówno wtedy, gdy trampolina jest maksymalnie ugięta, jak i wtedy, gdy znajduje się na maksymalnej wysokości. W obu przypadkach jako poziom odniesienia przyjmujemy ziemię.

Gdy trampolina jest maksymalnie ugięta, dziecko znajduje się na wysokości równej wysokości, na jakiej rozpięto trampolinę pomniejszoną o jej ugięcie. W związku z tym możemy zapisać:

$E_{p . g 1} = m g (d - x_{1})$

gdzie:

$d$ - wysokość, na jakiej rozpięto trampolinę.

Natomiast gdy dziecko znajduje się na maksymalnej wysokości, możemy zapisać:

$E_{p . g 2} = m g h_{m a x}$

gdzie:

$h_{m a x}$ - maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się dziecko.

Podstawiając powyższe wzory na energie do równania, które otrzymaliśmy z zasady zachowania energii dostajemy:

$m g (d - x_{1}) + \frac{1}{2} k x_{1}^{2} = m g h_{m a x}$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na maksymalną wysokość:

$m g (d - x_{1}) + \frac{1}{2} k x_{1}^{2} = m g h_{m a x} ∣ : m g$

$d - x_{1} + \frac{k x _{1}^{2}}{m g} = h_{m a x}$

$h_{m a x} = d - x_{1} + \frac{k x _{1}^{2}}{m g}$

Nie znamy współczynnika sprężystości trampoliny, jednak wiemy, że gdy dziecko na niej siedzi, trampolina ugina się pod jego ciężarem. W stanie równowagi siła sprężystości równoważy siłę ciężkości działającą na dziecko. Siłę sprężystości możemy opisać wzorem:

WARTOŚĆ SIŁY SPRĘŻYSTOŚCI

Wartość siły sprężystości działającej na ciało drgające możemy przedstawić wzorem:

$F = k x$

gdzie:

$F$ - wartość siły sprężystości,

$k$ - współczynnik sprężystości układu,

$x$ - wychylenie ciała z położenia równowagi.

Wiemy, że siłą powodującą ugięcie trampoliny jest siła ciężkości działająca na dziewczynkę. Wartość tej siły możemy obliczyć ze wzoru:

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wiemy, że trampolina przestaje się poruszać po osiągnięciu określonego wychylenia, co oznacza, że siła ciężkości działająca na dziewczynkę oraz siła sprężystości trampoliny równoważą się. W związku z tym możemy zapisać:

$F = F_{c}$

$k x = m g$

Przekształcamy powyższe równia tak, aby otrzymać wzór na współczynnik sprężystości:

$k x = m g ∣ : x$

$k = \frac{m g}{x}$

Podstawiamy ten wzór do otrzymanego przez nas wzoru na maksymalną wysokość:

$h_{m a x} = d - x_{1} + \frac{\frac{m g}{x} x _{1}^{2}}{m g}$

$h_{m a x} = d - x_{1} + \frac{x _{1}^{2}}{x}$

Podstawiając wartości liczbowe dostajemy:

$h_{m a x} = 1 m - 0, 5 m + \frac{( 0 , 5 m ) ^{2}}{0 , 1 m} =$

$h_{m a x} = 0, 5 m + \frac{0 , 25 m ^{2}}{0 , 1 m} =$

$h_{m a x} = 0, 5 m + 2, 5 m = 3 m$

Widzimy, że dziecko znajduje się maksymalnie na wysokości 3 metrów nad ziemią. Siatka jest zamontowana na wysokości, na jakiej rozpięta jest trampolina i ma określona wysokość. Oznacza to, że siatka będzie zabezpieczać do wysokości:

$H = d + h$

gdzie:

$H$ - wysokość, do jakiej siatka zabezpiecza,

$h$ - wysokość siatki.

Podstawiając wartości liczbowe:

$H = 1 m + 2, 8 m = 3, 8 m$