Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie, ile wynosiła praca wykonana przez łyżwiarza przy przyciągnięciu rąk do tułowia. Z treści zadania wiemy, że początkowo energia kinetyczna łyżwiarza wynosi:

$E_1=48\text{J}$ 

Pracę możemy przedstawić jako zmianę energii kinetycznej łyżwiarza:

$W=E_2-E_1$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez łyżwiarza przy zmianie pozycji, 

$E_2$ - końcowa energia kinetyczna łyżwiarza po przyciągnięciu rąk do tułowia, 

$E_1$ - początkowa energia kinetyczna łyżwiarza.

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO Energię kinetyczną bryły w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą wzoru: $E_{k.obr}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$  gdzie: $E_{k.obr}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej,   $I$ - moment bezwładności bryły,  $\omega$ - szybkość kątowa bryły względem przyjętej osi obrotu.

Pomimo, że znamy wartość początkowej energii kinetycznej przedstawmy ją za pomocą wzoru. Ponieważ jest to jedyna dana w zadaniu, to będzie nam to potrzebne, aby opisać za jej pomocą końcową energię kinetyczną łyżwiarza. Mamy:

$E_1=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2$

gdzie:

$I_1$ - początkowa wartość momentu bezwładności, 

${\omega }_1$ - początkowa szybkość kątowa łyżwiarza.

Z treści zadania wiemy również, że moment bezwładności łyżwiarza zmniejszył się o $\frac{1}{4}$ względem początkowej wartości:

$I_2=I_1-\frac{1}{4}{I}_1$

$I_2=\frac{4}{4}{I}_1-\frac{1}{4}{I}_1$

$I_2=\frac{3}{4}{I}_1$

gdzie:

$I_2$ - moment bezwładności łyżwiarza po przyciągnięciu rąk do tułowia. 

Z zasady zachowania momentu pędu wiemy, że:

$L_2=L_1$

gdzie:

$L_1$ - początkowa wartość momentu pędu łyżwiarza, 

$L_2$ - wartość momentu pędu po przyciągnięciu rąk do tułowia.

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru: $L=I\omega$ gdzie: $L$ - wartość momentu pędu, $I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,  $\omega$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

Otrzymamy zatem:

$L_1=I_1{\omega }_1$

$L_2=I_2{\omega }_2$

gdzie:

${\omega }_2$ - szybkość kątowa łyżwiarza po zmianie jego położenia.

Z zasady zachowania momentu pędu otrzymamy zależność pomiędzy szybkościami kątowymi:

$L_2=L_1$

$I_2{\omega }_2=I_1{\omega }_1$

$\frac{3}{4}\cancel{I_1}{\omega }_2=\cancel{I_1}{\omega }_1|\cdot \frac{4}{3}$

${\omega }_2=\frac{4}{3}{\omega }_1$

Przedstawmy energię kinetyczną łyżwiarza po przyciągnięciu rąk do tułowia w zależności od początkowej energii kinetycznej łyżwiarza:

$E_2=\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_2^2$

$E_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}{I}_1\cdot {\left(\frac{4}{3}{\omega }_1\right)}^2$

$E_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\cancel{3}}{\bcancel{4}}{I}_1\cdot \frac{4^{\bcancel{2}}}{3^{\bcancel{2}}}{\omega }_1^2$

$E_2=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2$

$E_2=\frac{4}{3}{E}_1$

Zatem praca wykonana przez łyżwiarza ma postać:

$W=E_2-E_1$

$W=\frac{4}{3}{E}_1-E_1$

$W=\frac{4}{3}{E}_1-\frac{3}{3}{E}_1$

$W=\frac{1}{3}{E}_1$

Obliczamy:

$W=\frac{1}{3}\cdot 48\text{J}=16\text{J}$

 Odpowiedź: 

Praca wykonana przez łyżwiarza wynosiła:

D. $16\text{J}$