Koło zamachowe o momencie bezwładności...- Zadanie 9.6.1.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$I = 2, 5 kg \cdot m^{2}$

$a)$

Szukane:

$M = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie momentu siły wprawiającego koło w ruch. W zadaniu podany mamy wykres zależności wartości momentu pędu od czasu. Zauważmy, że jest to zależność liniowa, która przecina początek układu współrzędnych.

FUNKCJA LINIOWA

Funkcja liniowa ma postać:

$y (x) = a x + b$

gdzie:

$x$ - argument funkcji,

$y$ - wartość funkcji,

$a$ - współczynnik kierunkowy prostej,

$b$ - wyraz wolny.

W naszym przypadku:

$y = L$

$x = t$

gdzie:

$L$ - wartość momentu pędu zależna od czasu,

$t$ - czas ruchu.

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L = I ω$

gdzie:

$L$ - wartość momentu pędu,

$I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,

$ω$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

W naszym przypadku możemy z wykresu wywnioskować, że z czasem zmienia się liniowo wartość momentu pędu. Nie może zmieniać się moment bezwładności, ponieważ to wielkość stała, charakteryzująca daną bryłę sztywną. Zatem zmianie będzie ulegała wartość prędkości kątowej. Podobnie jak moment pędu będzie ona rosła liniowo w czasie. Z tego wynika, że koło zamachowe porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym.

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO

Poprzez analogie do ruchu postępowego wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością:

$ε = \frac{Δ ω}{Δ t}$

gdzie:

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego,

$Δ ω$ - zmiana szybkości kątowej ciała,

$Δ t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje.

W naszym przypadku zmianę szybkości kątowej możemy przedstawić jako szybkość kątową na końcu ruchu ciała (dla zerowego czasu moment pędu jest zerowy, więc i szybkość kątowa jest zerowa):

$Δ ω = ω$

gdzie:

$ω$ - szybkość kątowa ciała na końcu ostatniej sekundy ruchu (zgodnie z wykresem 20 s).

Zmiana czasu odpowiada całkowitemu czasowi ruchu koła zamachowego przedstawionego na wykresie:

$Δ t = t$

W takim przypadku, zgodnie z definicją przyspieszenia kątowego, otrzymamy, że szybkość kątową możemy przedstawić wzorem:

$\frac{Δ ω}{Δ t} = ε$

$\frac{ω}{t} = ε ∣ \cdot t$

$ω = ε t$

Wówczas wartość momentu pędu przedstawimy zależności:

$L = I ω$

$L = I ε t$

Zatem współczynnik kierunkowy prostej z wykresu to:

$a \cdot x = y$

$a \cdot t = L$

$a \cdot t = I ε t$

$a = I ε$

Naszym zadaniem jest wyznaczenie momentu siły.

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I ε = M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

W takim razie współczynnik kierunkowy prostej na wykresie odpowiada wartości momentu siły wprawiającej w ruch koło zamachowe:

$a = M$

Prawdziwa jest wówczas zależność:

$L = M \cdot t$

Oznacza to, że wartość momentu siły spełnia wówczas zależność:

$M \cdot t = L ∣ : t$

$M = \frac{L}{t}$

Z wykresu odczytujemy dla dowolnie wybranego argumentu (czasu) wartość funkcji (wartość momentu pędu). Na przykład:

Z wykresy wynika, że dla czasu $t = 20 s$ wartość momentu pędu wynosi $L (t) = 200 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}$ .

Podstawmy wielkości odczytane z wykresu do otrzymanej zależności:

$M = \frac{200 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}}{20 s} = 10 kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} = 10 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m = 10 N \cdot m$

Odpowiedź: Wartość momentu siły wprawiającej koło zamachowe w ruch wynosi $10 N \cdot m$ .

$b)$

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest uzupełnienie tabeli o wartości prędkości kątowej po określonym czasie trwania ruchu oraz naszkicowanie wykresu zależności szybkości kątowej od czasu w układzie współrzędnych. Korzystając z definicji momentu pędu otrzymamy:

$I ω = L ∣ : I$

$ω = \frac{L}{I}$

Wiemy, że wartość momentu pędu zmienia się z czasem, co wynika, z wykresu dołączonego do zadania. Zatem dla poszczególnych czasów ruchu koła zamachowego otrzymamy:

▶ dla $t_{0} = 0 s$ mamy $L_{0} = 0 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}$ :

$ω_{0} = \frac{L _{0}}{I}$

$ω_{0} = \frac{0 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}}{2 , 5 kg \cdot m ^{2}} = 0 \frac{1}{s}$

▶ dla $t_{1} = 5 s$ mamy $L_{1} = 50 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}$ :

$ω_{1} = \frac{L _{1}}{I}$

$ω_{1} = \frac{50 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}}{2 , 5 kg \cdot m ^{2}} = 20 \frac{1}{s}$

▶ dla $t_{2} = 10 s$ mamy $L_{2} = 100 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}$ :

$ω_{2} = \frac{L _{2}}{I}$

$ω_{2} = \frac{100 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}}{2 , 5 kg \cdot m ^{2}} = 40 \frac{1}{s}$

▶ dla $t_{3} = 15 s$ mamy $L_{3} = 150 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}$ :

$ω_{3} = \frac{L _{3}}{I}$

$ω_{3} = \frac{150 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}}{2 , 5 kg \cdot m ^{2}} = 60 \frac{1}{s}$

▶ dla $t_{4} = 20 s$ mamy $L_{4} = 200 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}$ :

$ω_{4} = \frac{L _{4}}{I}$

$ω_{4} = \frac{200 \frac{kg \cdot m ^{2}}{s}}{2 , 5 kg \cdot m ^{2}} = 80 \frac{1}{s}$

Otrzymane wartości prędkości kątowej podano w jednostce $\frac{1}{s}$ . To jest to samo, co jednostka $\frac{rad}{s}$ . Wynika to z tego, że radiany są jednostką bezwymiarową, czyli w sensie matematycznym nie mają własnego wymiaru fizycznego, takiego jak metry (długość), sekundy (czas) czy kilogramy (masa).

Następnie należy narysować wykres. Zaznaczamy w układzie współrzędnych o0trzymane punkty: $(0; 0)$ , $(5; 20)$ , $(10; 40)$ , $(15; 60)$ i $(20; 80)$ . Prowadzimy przez te punkty wykres.