Walec o promieniu R=10 cm...- Zadanie 9.5.29.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$1.$

Uzasadnienie:

Punkt styku walca z podłożem podczas ruchu obrotowego z poślizgiem przemieszcza się względem podłoża, zatem między powierzchnią walca i podłoża działa tarcie kinetyczne.

Odpowiedź:

W czasie gdy walec toczy się z poślizgiem, działa siła tarcia kinetycznego.

$2.$

Uzasadnienie:

Walec toczy się po poziomym podłożu, więc nie jest rozpędzany. Skoro na walec działa siła tarcia kinetycznego, to ruch obrotowy walca napotyka opory i jego obrót spowalnia.

Odpowiedź:

Prędkość kątowa walca zmniejsza się i można ją obliczyć ze wzoru: B. $ω = ω_{0} - ε t$

$3.$

Uzasadnienie:

Środek masy rozpędzonego walca początkowo spoczywał. Po kontakcie walca z podłożem zacznie się on poruszać, zatem wartość prędkości liniowej walca będzie rosła.

Odpowiedź:

Środek masy toczącego się walca przyspiesza, więc jego prędkość chwilową można obliczyć ze wzoru: A. $v = v_{0} + a t$

$4.$

Uzasadnienie:

Dopóki walec toczy się z poślizgiem to działa na niego jedynie siła tarcia kinetycznego - siła tarcia statycznego będzie działała w momencie ustania poślizgu, kiedy walec odpowiednio spowolni swój ruch obrotowy.

Odpowiedź:

Przyspieszenie w ruchu postępowym nadaje siła tarcia kinetycznego, a przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym - moment siły tarcia kinetycznego.

Dane:

$R = 10 cm = 0, 1 m$

$ω_{0} = 100 \frac{1}{s}$

$v_{0} = 0$

$μ = 0, 3$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ .

Szukane:

$t = ?$

$v = ?$

Rozwiązanie:

Wyznaczamy czas, po jakim ustanie toczenie z poślizgiem i wartość prędkości walca w tej chwili.

Ruch postępowy walca odbywa się z przyspieszeniem liniowym. Korzystamy z II zasady dynamiki.

II ZASADA DYNAMIKI

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F_{w} = m a$

gdzie:

$F_{w}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

W naszym przypadku siłą wypadkową działającą na walec w kierunku poziomym jest siła tarcia kinetycznego.

$m a = T$

gdzie:

$m$ - masa walca,

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego walca,

$T$ - wartość siły tarcia kinetycznego.

WARTOŚĆ SIŁY TARCIA KINETYCZNEGO

Siła tarcia kinetycznego działa na ciało będące w ruchu, zwrócona jest przeciwnie do wektora prędkości, a jej wartość możemy wyrazić wzorem:

$T_{k} = μ_{k} F_{N}$

gdzie:

$T_{k}$ - wartość siły tarcia kinetycznego,

$μ_{k}$ - współczynnik tarcia kinetycznego,

$F_{N}$ - wartość siły nacisku ciała na podłoże.

W naszym przypadku zapiszemy:

$T = μ F_{c}$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości walca.

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$F_{c}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Stąd:

$T = μ m g$

Otrzymujemy:

$m a = μ m g ∣ : m$

$a = μ g$

Znamy wartość przyspieszenia liniowego walca. Wyznaczamy wartość prędkości liniowej do jakiej rozpędzi się.

WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI - RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY

Wartość prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym lub opóźnionym wyrażamy jako:

$v = v_{0} \pm a t$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości chwilowej,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej,

$a$ - wartość przyspieszenia (opóźnienia),

$t$ - czas ruchu.

Znak $+$ przyjmujemy dla ruchu przyspieszonego, a $-$ dla opóźnionego.

Wiemy, że:

$v_{0} = 0$

Zatem:

$v = a t$

Stąd:

$v = μ g t$

Czyli po czasie $t$ walec przestanie się poruszać z poślizgiem i uzyska prędkość liniową o wartości $v$ . Jednocześnie walec będzie posiadał szybkość kątową. Dla warunku ruchu bez poślizgu zachodzi:

SZYBKOŚĆ LINIOWA A KĄTOWA

Zależność szybkości liniowej od szybkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v = ω r$

gdzie:

$v$ - szybkość liniowa,

$ω$ - szybkość kątowa,

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

W naszym przypadku:

$v = ω R$

gdzie:

$R$ - promień walca.

Zatem:

$μ g t = ω R$

Walec startował z pewną szybkością kątową $ω_{0}$ i ta w czasie $t$ zmalała do końcowej $ω$ . Walec obracał się z opóźnieniem kątowym.

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO

Poprzez analogie do ruchu postępowego wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością:

$ε = \frac{Δ ω}{Δ t}$

gdzie:

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego,

$Δ ω$ - zmiana szybkości kątowej ciała,

$Δ t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje.

Stąd wartość opóźnienia kątowego będzie równa:

$ε = \frac{ω _{0} - ω}{t} ∣ \cdot t$

$ε t = ω_{0} - ω ∣ + ω$

$ε t + ω = ω_{0} ∣ - ε t$

$ω = ω_{0} - ε t$

Podstawiamy wyznaczoną zależność do wcześniej wyprowadzonego wzoru.

$μ g t = ω R$

$μ g t = (ω_{0} - ε t) R$

$μ g t = ω_{0} R - ε R t$

Potrzebujemy znaleźć zależność na wartość opóźnienia kątowego, z jakim spowalniał obracający się walec.

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I ε = M$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,

$ε$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu, możemy przedstawić wzorem:

$M = r F$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległość od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Na walec działa moment siły tarcia kinetycznego.

$M = R T$

Stąd:

$I ε = M$

$I ε = R T ∣ : I$

$ε = \frac{R T}{I}$

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - WALEC

Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać:

$I = \frac{1}{2} m r^{2}$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności walca,

$m$ - masa walca,

$r$ - promień walca.

Moment bezwładności dla naszego walca jest równy:

$I = \frac{1}{2} m R^{2}$

Otrzymujemy:

$ε = \frac{R T}{\frac{1}{2} m R ^{2^{1}}}$

$ε = \frac{2 T}{m R}$

Podstawiamy zapisaną wcześniej zależność na wartość siły tarcia.

$T = μ m g$

Stąd:

$ε = \frac{2 μ m g}{m R}$

$ε = \frac{2 μ g}{R}$

Wracamy do naszego równania:

$μ g t = ω_{0} R - ε R t$

$μ g t = ω_{0} R - \frac{2 μ g}{R} R t$

$μ g t = ω_{0} R - 2 μ g t ∣ + 2 μ g t$

Wyznaczamy szukany czas:

$3 μ g t = ω_{0} R ∣ : 3 μ g$

$t = \frac{ω _{0} R}{3 μ g}$

Podstawiamy dane liczbowe:

$t = \frac{100 \frac{1}{s} \cdot 0 , 1 m}{3 \cdot 0 , 3 \cdot 9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}} = \frac{10 \frac{m}{s}}{8 , 829 \frac{m}{s} \cdot \frac{1}{s}} \approx 1, 13 s$