Dzieci usiadły na karuzeli (patrz rysunek) po dwoje na każdej....- Zadanie 9.6.8.: NOWE Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$M = 50 kg$

$m_{p} = 2 kg$

$ω_{1} = 0, 4 \frac{rad}{s}$

$R = 1, 2 m$

$I_{0} = 40 kg \cdot m^{2}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $π = 3, 14$ .

Szukane:

$f_{2} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie częstotliwości końcowej karuzeli. Początkowo mamy karuzelę, na której siedzą dzieci na ławeczkach trzymające piłki lekarskie. W końcowej sytuacji wszystkie piłki lekarskie zostały wrzucone do kosza, który instruktor zamocował na osi obrotu karuzeli. Mamy zatem w tym układzie trzy ciała fizyczne:

karuzelę,
trzy pary dzieci siedzących na trzech ławeczkach karuzeli,
sześć piłek lekarskich.

Karuzela obraca się względem osi przechodzącej przez jej środek. Zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu wiemy, że początkowy moment pędu całego układu jest równy całkowitemu momentowi pędu po tym, jak piłki wylądują w koszu:

$L_{2} = L_{1}$

gdzie:

$L_{2}$ - wartość momentu pędu, po tym jaki wszystkie piłki znalazły się w koszu,

$L_{1}$ - początkowa wartość momentu pędu układu.

WARTOŚĆ MOMENTU PĘDU

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L = I ω$

gdzie:

$L$ - wartość momentu pędu,

$I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,

$ω$ - wartość prędkości kątowej, z jaką porusza się ciało.

Początkowy moment pędu przedstawimy wzorem:

$L_{1} = I_{1} ω_{1}$

gdzie:

$I_{1}$ - moment bezwładności układu na początku,

$ω_{1}$ - początkowa szybkość kątowa układu.

Po tym, jaki piłki zostały wrzucone do kosza, ich moment pędu będzie miał postać:

$L_{2} = I_{2} ω_{2}$

gdzie:

$I_{2}$ - moment bezwładności układu, po wrzuceniu piłek do kosza,

$ω_{2}$ - końcowa szybkość kątowa układu, po tym jak piłki będą w koszu.

Skorzystamy z addytywności momentów bezwładności, czyli tego, że moment bezwładności całego układu jest równy sumie momentów bezwładności ciał fizycznych, które się w nim znajdują. Początkowy moment bezwładności układu będzie sumą momentu bezwładności karuzeli, trzech par dzieci oraz sześciu piłek:

$I_{1} = I_{0} + 3 I_{d} + 6 I_{p}$

gdzie:

$I_{0}$ - moment bezwładności karuzeli,

$I_{d}$ - moment bezwładności pary dzieci,

$I_{p}$ - moment bezwładności piłki.

Po tym jak piłki znajdą się w koszu, który jest na osi obrotu karuzeli to ich moment bezwładności jest zerowy. Zatem moment bezwładności układu jest sumą momentu bezwładności karuzeli i dzieci:

$I_{2} = I_{0} + 3 I_{d}$

Zgodnie z treścią zadania moment bezwładności dzieci i piłek należy przyjąć, jak dla punktów materialnych.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY

Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać:

$I = m r^{2}$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności punktu materialnego,

$m$ - masa ciała,

$r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Zatem dla pary dzieci mamy:

$I_{d} = M R^{2}$

gdzie:

$M$ - masa pary dzieci,

$R$ - długość promienia karuzeli.

Dla piłki mamy:

$I_{p} = m_{p} R^{2}$

gdzie:

$m_{p}$ - masa piłki.

Znamy początkową szybkość kątową karuzeli. Szukamy końcowej częstotliwości.

SZYBKOŚĆ KĄTOWA, A CZĘSTOTLIWOŚĆ

Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$ω = 2 π f$

gdzie:

$ω$ - szybkość kątowa ciała,

$π$ - liczba pi,

$f$ - częstotliwość w ruchu po okręgu.

Zatem możemy zapisać, że:

$ω_{2} = 2 π f_{2}$

gdzie:

$f_{2}$ - częstotliwość końcowa karuzeli (szukana).

Wówczas z zasady zachowania momentu pędu otrzymamy równanie, z którego wyznaczyć możemy szukaną częstotliwość:

$L_{2} = L_{1}$

$I_{2} ω_{2} = I_{1} ω_{1} ∣ : I_{2}$

$ω_{2} = \frac{I _{1}}{I _{2}} \cdot ω_{1}$

$ω_{2} = \frac{I _{0} + 3 I _{d} + 6 I _{p}}{I _{0} + 3 I _{d}} \cdot ω_{1}$

$2 π f_{2} = \frac{I _{0} + 3 M R ^{2} + 6 m _{p} R ^{2}}{I _{0} + 3 M R ^{2}} \cdot ω_{1} ∣ : 2 π$

$f_{2} = \frac{I _{0} + 3 M R ^{2} + 6 m _{p} R ^{2}}{I _{0} + 3 M R ^{2}} \cdot \frac{ω _{1}}{2 π}$

$f_{2} = \frac{I _{0} + ( 3 M + 6 m _{p} ) R ^{2}}{I _{0} + 3 M R ^{2}} \cdot \frac{ω _{1}}{2 π}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f_{2} = \frac{40 kg \cdot m ^{2} + ( 3 \cdot 50 kg + 6 \cdot 2 kg ) \cdot ( 1 , 2 m ) ^{2}}{40 kg \cdot m ^{2} + 3 \cdot 50 kg \cdot ( 1 , 2 m ) ^{2}} \cdot \frac{0 , 4 \frac{1}{s}}{2 \cdot 3 , 14} =$

$= \frac{40 kg \cdot m ^{2} + ( 150 kg + 12 kg ) \cdot 1 , 44 m ^{2}}{40 kg \cdot m ^{2} + 150 kg \cdot 1 , 44 m ^{2}} \cdot \frac{0 , 4 \frac{1}{s}}{6 , 28} =$