$\mathbf{a})$

Równanie ruchu dla ciała poruszającego się ruchem jednostajnie przyspieszonym ma postać:

$y\left(t\right)=y_0\pm v_{0}t\pm \frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$y$ - położenie nad podłożem w danej chwili,

$y_0$ - początkowe położenia ciała w obranym układzie współrzędnych,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało, 

$t$ - czas ruchu. 

W naszym przypadku początek jednowymiarowego układu odniesienia obieramy przy podłożu i jego oś kierujemy w górę. Wysokość wieży jest równa $h$ . Kulki poruszają się z przyspieszeniem ziemskim $g$ .

Położenie pierwszej kulki poruszającej się w dół wyrazimy jako:

$y_1\left(t\right)=h-v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Położenie drugiej kulki poruszającej się w górę wyrazimy jako:

$y_2\left(t\right)=h+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Odległość między kulkami wyznaczymy jako:

$\Delta y\left(t\right)=y_2\left(t\right)-y_1\left(t\right)$

$\Delta y\left(t\right)=h+v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2-\left(h-v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2\right)$

$\Delta y\left(t\right)=h+v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2-h+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$\Delta y\left(t\right)=v_{0}t+v_{0}t$

$\Delta y\left(t\right)=2v_{0}t$

 

$\mathbf{b})$

Szukamy odległości między kulkami, kiedy druga kulka będzie na maksymalnej wysokości:

$\Delta y^{\prime }=2v_0{t}^{\prime }$

Musimy wyznaczyć czas po jakim kulka druga osiąga maksymalną wysokość. Wiemy, że w tym punkcie kulka zawraca, a jej wartość prędkości maleje do zera.

$v_2^{\prime }=v_0-g{t}^{\prime }$

gdzie:

$v_2^{\prime }=0$ - wartość prędkości na maksymalnej wysokości,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t^{\prime }$ - czas wznoszenia drugiej kulki.

Zatem:

$0=v_0-g{t}^{\prime }$

$g{t}^{\prime }=v_0$

$t^{\prime }=\frac{v_0}{g}$

Wyznaczmy szukaną odległość:

$\Delta y^{\prime }=2v_0{t}^{\prime }$

$\Delta y^{\prime }=2v_0\frac{v_0}{g}$

$\Delta y^{\prime }=\frac{2v_0^2}{g}$