Termometr cieczowy składa się ze zbiornika wypełnionego zabarwionym alkoholem o współczynniku rozszerzalności objętościowej 1,3⋅10^-3 1/K oraz kapilary, na której zaznaczona jest podziałka. Oblicz, o ile wzrosła temperatura, jeśli poziom alkoholu w kapilarze zwiększył się o 1 cm. Przyjmij, że kapilara ma kształt walca o promieniu 1 mm, a początkowa objętość alkoholu wynosiła 3 cm³.

Dane:

Szukane:

Rozwiązanie:

Zacznijmy od rysunku pomocniczego, na którym wprowadzimy kilka dodatkowych oznaczeń. Termometr składa się ze zbiornika i kapilary, w której alkohol sięga do pewnej wysokości. Oznaczmy ją jako małe h. Objętość alkoholu w zbiorniku oznaczmy jako V zbiornika, a objętość alkoholu w kapilarze oznaczymy przez V1.

Początkową objętość alkoholu możemy wyrazić jako objętość zbiornika plus objętość alkoholu w kapilarze:

Przyjmujemy, że kapilara ma kształt walca, więc jej objętość obliczymy jako pole podstawy, pomnożone przez wysokość:

Podstawa ma kształt koła, więc wzór na objętość V1 przyjmie postać pi razy promień podniesiony do kwadratu razy wysokość:

Otrzymujemy w ten sposób wzór na początkową objętość alkoholu:

Wiemy, że poziom alkoholu w kapilarze się zwiększył, co oznacza, że wzrosła temperatura i alkohol się rozszerzył. Oznaczmy objętość alkoholu mieszczącą się w kapilarze przez V2. Wówczas objętość alkoholu po zmianie temperatury będzie równa sumie objętości zbiornika i objętości V2:

którą wyrazimy za pomocą wysokości słupa cieczy:

Zmiana objętości jest różnicą objętości końcowej i początkowej:

Wstawiamy do wyrażenia wyznaczone wzory:

Zauważ, że objętość zbiornika się redukuje:

Wyciągamy pi r kwadrat przed nawias i widzimy, że to co zostało w nawiasie to nic innego, jak zmiana poziomu alkoholu w kapilarze:

Zmiana objętości alkoholu jest oczywiście spowodowana zmianą temperatury. Zastosujmy więc wzór z dzisiejszej lekcji, czyli zapiszmy, że zmiana objętości jest równa iloczynowi objętości początkowej, zmiany temperatury i współczynnika rozszerzalności objętościowej:

W miejsce delta V wstawiamy wyrażenie, które wyznaczyliśmy przed chwilą:

Dzielimy wyrażenie obustronnie przez V0 beta

i zamieniamy wyrażenie stronami:

Zostaje nam podstawienie danych liczbowych do wyznaczonego wzoru. Do wykonania obliczeń użyj kalkulatora, pamiętając, aby wstawić wszystkie wartości w jednostkach układu SI.

Otrzymujemy wartość około 8 kelwinów. Jest to przyrost temperatury, więc możemy powiedzieć, że temperatura wzrosła o około 8 stopni Celsjusza.

Zwróć uwagę, że aby zmiana poziomu cieczy w termometrze była dobrze widoczna, czyli żeby termometr był dokładny, kapilara musi być bardzo wąska. Jednocześnie w wąskiej kapilarze zmieści się niewielka objętość cieczy i to właśnie dlatego termometr posiada również zbiornik. Ważne jest również, aby ciecz użyta w termometrze miała wysoki współczynnik rozszerzalności objętościowej, a jednocześnie niską temperaturę krzepnięcia i wysoką temperaturę wrzenia, tak, żeby nie zmieniła stanu skupienia w naszych warunkach klimatycznych.