Termometr cieczowy składa się ze zbiornika wypełnionego zabarwionym alkoholem o współczynniku rozszerzalności objętościowej 1,3⋅10^-3 1/K oraz kapilary, na której zaznaczona jest podziałka. Oblicz, o ile wzrosła temperatura, jeśli poziom alkoholu w kapilarze zwiększył się o 1 cm. Przyjmij, że kapilara ma kształt walca o promieniu 1 mm, a początkowa objętość alkoholu wynosiła 3 cm³.

 

Dane:

$\beta =1,3\cdot 10^{-3}\frac{1}{\mathrm{K}}$

$\Delta h=1\mathrm{cm}=0,01\mathrm{m}$

$r=1\mathrm{mm}=1\cdot 10^{-3}\mathrm{m}$

$V_0=3{\mathrm{cm}}^3=3\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^3$

Szukane:

$\Delta T=?$

Rozwiązanie:

Zacznijmy od rysunku pomocniczego, na którym wprowadzimy kilka dodatkowych oznaczeń. Termometr składa się ze zbiornika i kapilary, w której alkohol sięga do pewnej wysokości. Oznaczmy ją jako małe h. Objętość alkoholu w zbiorniku oznaczmy jako V zbiornika, a objętość alkoholu w kapilarze oznaczymy przez V1.

Początkową objętość alkoholu możemy wyrazić jako objętość zbiornika plus objętość alkoholu w kapilarze:

$V_0=V_{zb}+V_1$

 Przyjmujemy, że kapilara ma kształt walca, więc jej objętość obliczymy jako pole podstawy, pomnożone przez wysokość:

$V_1=P_p\cdot h$

Podstawa ma kształt koła, więc wzór na objętość V1 przyjmie postać pi razy promień podniesiony do kwadratu razy wysokość:

$V_1=\pi r^{2}h$

Otrzymujemy w ten sposób wzór na początkową objętość alkoholu:

$V_0=V_{zb}+\pi r^{2}h$

 

Wiemy, że poziom alkoholu w kapilarze się zwiększył, co oznacza, że wzrosła temperatura i alkohol się rozszerzył. Oznaczmy objętość alkoholu mieszczącą się w kapilarze przez V2. Wówczas objętość alkoholu po zmianie temperatury będzie równa sumie objętości zbiornika i objętości V2:

$V=V_{zb}+V_2$

którą wyrazimy za pomocą wysokości słupa cieczy:

$V_2=\pi r^{2}H$

$V=V_{zb}+\pi r^{2}H$

 

Zmiana objętości jest różnicą objętości końcowej i początkowej:

$\Delta V=V-V_0$

Wstawiamy do wyrażenia wyznaczone wzory:

$\Delta V=V_{zb}+\pi r^{2}H-\left(V_{zb}+\pi r^{2}h\right)$

$\Delta V=V_{zb}+\pi r^{2}H-V_{zb}-\pi r^{2}h$

Zauważ, że objętość zbiornika się redukuje:

$\Delta V=\pi r^{2}H-\pi r^{2}h$

Wyciągamy pi r kwadrat przed nawias i widzimy, że to co zostało w nawiasie to nic innego, jak zmiana poziomu alkoholu w kapilarze:

$\Delta V=\pi r^2\left(H-h\right)$

$\Delta V=\pi r^2\Delta h$

 

Zmiana objętości alkoholu jest oczywiście spowodowana zmianą temperatury. Zastosujmy więc wzór z dzisiejszej lekcji, czyli zapiszmy, że zmiana objętości jest równa iloczynowi objętości początkowej, zmiany temperatury i współczynnika rozszerzalności objętościowej:

$\Delta V=V_0\beta \Delta T$

W miejsce delta V wstawiamy wyrażenie, które wyznaczyliśmy przed chwilą:

$\pi r^2\Delta h=V_0\beta \Delta T$

 Dzielimy wyrażenie obustronnie przez V0 beta

 $\pi r^2\Delta h=V_0\beta \Delta T|:V_0\beta$

$\frac{\pi r^2\Delta h}{V_0\beta }=\Delta T$ 

i zamieniamy wyrażenie stronami:

$\Delta T=\frac{\pi r^2\Delta h}{V_0\beta }$

Zostaje nam podstawienie danych liczbowych do wyznaczonego wzoru. Do wykonania obliczeń użyj kalkulatora, pamiętając, aby wstawić wszystkie wartości w jednostkach układu SI.

$\Delta T=\frac{3,14\cdot {\left(1\cdot 10^{-3}\mathrm{m}\right)}^2\cdot 0,01\mathrm{m}}{3\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^3\cdot 1,3\cdot 10^{-3}\frac{1}{\mathrm{K}}}=$

$=\frac{3,14\cdot 1\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2\cdot 0,01\mathrm{m}}{3,9\cdot 10^{-9}\frac{{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{K}}}=$

$=\frac{3,14\cdot 10^{-8}\cancel{{\mathrm{m}}^3}}{3,9\cdot 10^{-9}\frac{\cancel{{\mathrm{m}}^3}}{\mathrm{K}}}\approx$

$\approx 0,8\cdot 10^1\frac{1}{\frac{1}{\mathrm{K}}}=8\mathrm{K}$

Otrzymujemy wartość około 8 kelwinów. Jest to przyrost temperatury, więc możemy powiedzieć, że temperatura wzrosła o około 8 stopni Celsjusza.

$\Delta T=8\mathrm{K},\text{czyli}\Delta t=8^{\circ }\mathrm{C}$

Zwróć uwagę, że aby zmiana poziomu cieczy w termometrze była dobrze widoczna, czyli żeby termometr był dokładny, kapilara musi być bardzo wąska. Jednocześnie w wąskiej kapilarze zmieści się niewielka objętość cieczy i to właśnie dlatego termometr posiada również zbiornik. Ważne jest również, aby ciecz użyta w termometrze miała wysoki współczynnik rozszerzalności objętościowej, a jednocześnie niską temperaturę krzepnięcia i wysoką temperaturę wrzenia, tak, żeby nie zmieniła stanu skupienia w naszych warunkach klimatycznych.