Dane:

$r_a=2,8\text{au}$  

$r_p=2,4\text{au}$   

Szukane:

$\frac{v_a}{v_p}=?$  

Rozwiązanie:

Gazowy olbrzym porusza się po eliptycznej orbicie wokół swojej gwiazdy. Drugie prawo Keplera mówi nam, że promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pole. Oznacza to, że planeta znajdując się bliżej gwiazdy porusza się szybciej. Moment pędu planety w ruchu orbitalnym wokół gwiazdy musi być zachowany.

Moment pędu wyrażamy jako:

$L=r\cdot m\cdot v$  

$r-\text{promienˊ orbity}$

$m-\text{masa ciała}$

$v-\text{prędkosˊcˊ ciała}$    

 

Moment pędu gazowego olbrzyma znajdującego się najdalej gwiazdy wynosi:

$L_a=r_a\cdot m\cdot v_a$  

Natomiast moment pędu planety znajdującej się najbliżej gwiazdy wynosi:

$L_p=r_p\cdot m\cdot v_p$  

 

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

$L_p=L_a$  

$r_p\cdot m\cdot v_p=r_a\cdot m\cdot v_a$  

$r_p\cdot v_p=r_a\cdot v_a$  

$v_p=\frac{r_a}{r_p}{v}_a$  

 

Wyznaczmy stosunek prędkości planety w apocentrum do prędkości planety w perycentrum:

$1=\frac{r_a}{r_p}\cdot \frac{v_a}{v_p}$

$\frac{v_a}{v_p}=\frac{r_p}{r_a}$   

 

$\frac{v_a}{v_p}=\frac{2,4\text{au}}{2,8\text{au}}=0,86$  

$v_a=0,86\cdot v_p$