Saturn obraca się wokół własnej...- Zadanie 11.3.23.: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$d = 687 \frac{kg}{m ^{3}}$

$T = 10 h = 10 \cdot 3600 s = 36000 s = 3, 6 \cdot 10^{4} s$

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

$G = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}$

Wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne $g$ to przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, na które działa wyłącznie siła grawitacji. Przedstawiamy je za pomocą wzoru:

$g = \frac{G \cdot M}{R ^{2}}$

$G - sta ł a grawitacji$

$M - masa planety$

$R - odleg ł o \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} od \overset{s}{ˊ} rodka planety$

Ciężar ciała $Q$ na dowolnej planecie przedstawiamy wzorem:

$Q = m \cdot g$

$m - masa cia ł a$

Ciężar ciała na biegunie $Q_{b}$ jest równy działającej na niego sile grawitacji $F_{g}$ :

$Q_{b} = F_{g}$

$Q_{b} = m g$

Na ciało znajdujące się na równiku działa siła grawitacji $F_{g}$ i siła odśrodkowa $F_{o d}$ pochodząca od ruchu planety wokół własnej osi. Ciężar ciała na równiku $Q_{r}$ będzie wypadkową tych dwóch sił.

$Q_{r} = F_{g} - F_{o d}$

$Q_{r} = m g - F_{o d}$

Siłę odśrodkową możemy wyrazić wzorem:

$F_{o d} = \frac{m \cdot v ^{2}}{R}$

$v - pr ę dko \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} z jak ą porusza si ę cia ł o spoczywaj ą ce na r \overset{o}{ˊ} wniku$

$R - promie \overset{n}{ˊ} r \overset{o}{ˊ} wnikowy$

Prędkość w ruchu po okręgu wyrazimy jako:

$v = \frac{2 π R}{T}$

$T - okres obrotu planety, na kt \overset{o}{ˊ} rej spoczywa cia ł o$

Zatem:

$F_{o d} = \frac{m \cdot ( \frac{2 π R}{T} ) ^{2}}{R}$

$F_{o d} = \frac{m \cdot \frac{4 π ^{2} R ^{2}}{T ^{2}}}{R}$

$F_{o d} = \frac{4 π ^{2} R m}{T ^{2}}$

Musimy wyrazić jeszcze masę $M$ planety przy pomocy gęstości $d$ :

$d = \frac{M}{V}$

$M = d V$

Zakładamy, że Saturn jest kulą, stąd:

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$

$M = d \cdot \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π d R^{3}$

Wyznaczmy szukany stosunek ciężarów:

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = \frac{m g - F _{o d}}{m g}$

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{F _{o d}}{m g}$

Podstawmy wyznaczoną zależność na siłę odśrodkową:

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{\frac{4 π ^{2} R m}{T ^{2}}}{m g}$

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{\frac{4 π ^{2} R}{T ^{2}}}{g}$

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{4 π ^{2} R}{T ^{2} g}$

Podstawmy zależność na przyspieszenie grawitacyjne:

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{4 π ^{2} R}{T ^{2} \frac{G \cdot M}{R ^{2}}}$

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{4 π ^{2} R ^{3}}{T ^{2} G M}$

Podstawmy zależność na masę Saturna:

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{4 π ^{2} R ^{3}}{T ^{2} G \cdot \frac{4}{3} π d R ^{3}}$

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{4 π ^{2}}{\frac{4}{3} π d T ^{2} G}$

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{π ^{2}}{\frac{1}{3} π d T ^{2} G}$

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{3 π}{d T ^{2} G}$

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{3 π}{G d T ^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\frac{Q _{r}}{Q _{b}} = 1 - \frac{3 \cdot 3 , 14}{6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot 687 \frac{kg}{m ^{3}} \cdot ( 3 , 6 \cdot 10 ^{4} s ) ^{2}} =$

$= 1 - \frac{9 , 42}{6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}} \cdot 687 \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 12 , 96 \cdot 10 ^{8} s ^{2}} =$

$= 1 - \frac{9 , 42}{59386 , 4784 \cdot 10 ^{- 11} \cdot 10 ^{8} \frac{N \cdot s ^{2}}{kg \cdot m}} =$

$= 1 - \frac{9 , 42}{59386 , 4784 \cdot 10 ^{- 3} \frac{kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot s ^{2}}{kg \cdot m}} = 1 - \frac{9 , 42}{59 , 3864784} \approx$