Febe i Tytan to księżyca Saturna. Mimośród orbity Febe...- Zadanie 11.4.9.: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$e_{F} = 0, 1633$

$e_{T} = 0, 0292$

Wyznaczmy stosunek prędkości jednego księżyca (dowolnego) w zależności od odległości od Saturna. Drugie prawo Keplera wynika z prawa zachowania momentu pędu dla dowolnego ciała w trakcie jego ruchu wokół innego ciała. Wzór na moment pędu ma postać:

$L = r \cdot m \cdot v$

$r - promie \overset{n}{ˊ} orbity$

$m - masa ksi ę \overset{z}{˙} yca$

$v - pr ę dko \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} ksi ę \overset{z}{˙} yca$

Z tego wynika, że moment pędu księżyca znajdującego się najdalej Saturna wynosi:

$L_{a} = r_{a} \cdot m \cdot v_{a}$

Natomiast moment pędu księżyca znajdującego się najbliżej Saturna wynosi:

$L_{p} = r_{p} \cdot m \cdot v_{p}$

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

$L_{p} = L_{a}$

$r_{p} \cdot m \cdot v_{p} = r_{a} \cdot m \cdot v_{a} ∣ : m$

$r_{p} \cdot v_{p} = r_{a} \cdot v_{a}$

Z tego wynika, że im mniejsza odległość (księżyc znajduje się w peryhelim) to większa musi być prędkość księżyca. Możemy zatem zapisać, że:

$v_{p} > v_{a}$

Oznacza to, że względną zmianę prędkości możemy przedstawić wzorem:

$δ = \frac{Δ v}{v _{p}} \cdot 100 %$

$Δ v - zmiana pr ę dko \overset{s}{ˊ} ci$

$Δ v = v_{p} - v_{a}$

Wówczas możemy zapisać, że względna zmiana prędkości księżyca (dowolnego) Saturna możemy przedstawić wzorem:

$δ = \frac{v _{p} - v _{a}}{v _{p}} \cdot 100 %$

Mimośrodem (ekscentrycznością) elipsy nazywamy parametr $e$ będący wartością opisującą stosunek długości ogniskowej $c$ do długości półosi wielkiej $a$ elipsy:

$e = \frac{c}{a}$

Zauważmy, że odległości księżyców od Saturna znajdujących się w peryhelium i aphelium wynoszą odpowiednio:

$r_{p} = a - c \Rightarrow a = r_{p} + c$

$r_{a} = a + c \Rightarrow a = r_{a} - c$

$r_{p} - najmniejsza odleg ł o \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} ksi ę \overset{z}{˙} yca od planety$

$r_{a} - najwi ę ksza odleg ł o \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ} ksi ę \overset{z}{˙} yca od planety$

Porównajmy zależności na długości półosi wielkiej i wyznaczmy wartość długości ogniskowej elipsy, po której poruszają się księżyce:

$r_{p} + c = r_{a} - c ∣ + c - r_{p}$

$2 \cdot c = r_{a} - r_{p} ∣ : 2$

$c = \frac{r _{a} - r _{p}}{2}$

Teraz możemy wyznaczyć wartość długości półosi wielkiej elipsy:

$a = r_{a} - c$

$a = r_{a} - \frac{r _{a} - r _{p}}{2}$

$a = \frac{2 \cdot r _{a}}{2} - \frac{r _{a} - r _{p}}{2}$

$a = \frac{2 \cdot r _{a} - r _{a} + r _{p}}{2}$

$a = \frac{r _{a} + r _{p}}{2}$

Z tego wynika, że mimośród elipsy możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$e = \frac{c}{a}$

$e = \frac{\frac{r _{a} - r _{p}}{2}}{\frac{r _{a} + r _{p}}{2}}$

$e = \frac{r _{a} - r _{p}}{r _{a} + r _{p}}$

Korzystając z wzoru na mimośród elipsy zależny od odległości księżyca od Saturna wyznaczmy wartość odległości księżyca znajdującego się w peryhelium:

$e = \frac{r _{a} - r _{p}}{r _{a} + r _{p}} ∣ \cdot (r_{a} + r_{p})$

$e \cdot (r_{a} + r_{p}) = r_{a} - r_{p}$

$e \cdot r_{a} + e \cdot r_{p} = r_{a} - r_{p} ∣ + r_{p} - e \cdot r_{a}$

$r_{p} + e \cdot r_{p} = r_{a} - e \cdot r_{a}$

$r_{p} \cdot (1 + e) = r_{a} \cdot (1 - e) ∣ : (1 + e)$

$r_{p} = r_{a} \cdot \frac{1 - e}{1 + e}$

Wówczas korzystając z zależności wyznaczonej z II prawa Keplera możemy wyznaczyć zależność prędkości księżyca w aphelium od prędkości księżyca w peryhelium:

$r_{a} \cdot v_{a} = r_{p} \cdot v_{p}$

$r_{a} \cdot v_{a} = r_{a} \cdot \frac{1 - e}{1 + e} \cdot v_{p} ∣ : r_{a}$

$v_{a} = \frac{1 - e}{1 + e} \cdot v_{p}$

Obliczmy najpierw względna zmianę prędkości Febe w trakcie ruchu po orbicie Saturna:

$δ_{F} = \frac{v _{p F} - v _{F a}}{v _{p F}} \cdot 100 %$

$δ_{F} = \frac{v _{p F} - \frac{1 - e _{F}}{1 + e _{F}} \cdot v _{p F}}{v _{p F}} \cdot 100 %$

$δ_{F} = \frac{v _{p F} ( 1 - \frac{1 - e _{F}}{1 + e _{F}} )}{v _{p F}} \cdot 100 %$

$δ_{F} = (1 - \frac{1 - e _{F}}{1 + e _{F}}) \cdot 100 %$

$δ_{F} = (\frac{1 + e _{F}}{1 + e _{F}} - \frac{1 - e _{F}}{1 + e _{F}}) \cdot 100 %$

$δ_{F} = \frac{1 + e _{F} - 1 + e _{F}}{1 + e _{F}} \cdot 100 %$

$δ_{F} = \frac{2 \cdot e _{F}}{1 + e _{F}} \cdot 100 %$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$δ_{F} = \frac{2 \cdot 0 , 1633}{1 + 0 , 1633} \cdot 100 % = \frac{2 \cdot 0 , 1633}{1 , 1633} \cdot 100 % = \frac{0 , 3266}{1 , 1633} \cdot 100 % \approx 0, 28 \cdot 100 % = 28 %$