Dane:

$E_{p\max }=4\text{J}$

$E_p=3\text{J}$

Szukane:

$t=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie najkrótszego czasu, po jakim ciężarek będzie miał określoną energię potencjalną sprężystości. Z treści zadania znamy maksymalną potencjalną energię sprężystości - jest to energia całkowita dostępna podczas drgań wahadła, więc możemy zapisać:

$E_{p\max }=E$

gdzie:

$E_{p\max }$ - maksymalna energia potencjalna układu,

$E$  - energia całkowita.

Energia całkowita dla ruchu drgającego jest dana wzorem:

RUCH DRGAJĄCY - ENERGIA CAŁKOWITA Całkowitą energię w ruchu drgającym wyznaczymy z zależności: $E=\frac{1}{2}k{A}^2$ gdzie: $E$ - całkowita energia mechaniczna ciała drgającego, $k$ - współczynnik sprężystości,  $A$ - amplituda drgań ciała.

Po prawej stronie nie znamy współczynnika sprężystości ani amplitudy. Wiemy, że energia potencjalną sprężystości opisuje zależność:

ENERGIA POTENCJALNA SPRĘŻYSTOŚCI Energię potencjalną sprężystości wyznaczymy z zależności: $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$ gdzie: $E_p$ - energia potencjalna sprężystości, $k$ - współczynnik sprężystości,  $x$ - wychylenie z położenia równowagi (odkształcenie ciała sprężystego).

Położenie ciężarka w ruchu harmonicznym jest dane zależnością:

RUCH DRGAJĄCY - POŁOŻENIE Wychylenie ciała w ruchu drgającym przedstawiamy zależnością: $x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$ gdzie:  $x$ - wychylenie ciała po zadanym czasie,  $t$ - czas,  $A$ - amplituda,   $\omega$ - częstość drgań,   $\phi$ - faza ruchu.

Wiemy, że mierzymy czas od momentu, w którym ciężarek przechodzi przez położenie równowagi, więc faza ruchu wynosi:

$\phi =0$

W związku z tym położenie jest dane wzorem:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t\right)$

Podstawiając to do wzoru na energię potencjalną sprężystości:

$E_p=\frac{1}{2}k{\left(A\sin \left(\omega t\right)\right)}^2$

$E_p=\frac{1}{2}k{A}^2{\sin }^2\left(\omega t\right)$

Jak widzimy, do powyższego wyrażenia możemy podstawić maksymalną energię potencjalną:

$E_p=E_{p\max }{\sin }^2\left(\omega t\right)$

$E_p=E_{p\max }{\sin }^2\left(\omega t\right)|:E_{p\max }$

$\frac{E_p}{E_{p\max }}={\sin }^2\left(\omega t\right)$

${\sin }^2\left(\omega t\right)=\frac{E_p}{E_{p\max }}$

Bierzemy pierwiastek z obu stron równania:

$\sin \left(\omega t\right)=\sqrt{\frac{E_p}{E_{p\max }}}$

Po podstawieniu wartości liczbowych dostajemy:

$\sin \left(\omega t\right)=\sqrt{\frac{3\cancel{\text{J}}}{4\cancel{\text{J}}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Najmniejszy kąt, dla którego ta funkcja przyjmuje tę wartość to $\frac{\pi }{3}$. W związku z tym możemy zapisać:

$\omega t=\frac{\pi }{3}$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na czas:

$\omega t=\frac{\pi }{3}|:\omega$

$t=\frac{\pi }{3\omega }$

Wiemy, że częstość drgań jest związana z okresem zależnością:

CZĘSTOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ Częstość kołową drgań wyrażamy jako: $\omega =\frac{2\pi }{T}$ gdzie: $\omega$ - częstość kołowa drgań, $\pi$ - liczba π, $T$ - okres drgań.

$t=\frac{\cancel{\pi }}{3\cdot \frac{2\cancel{\pi }}{T}}$

$t=\frac{T}{6}$

Odpowiedź: Najkrótszy czas, po jakim energia sprężystości osiągnie określoną przez nas wartość wynosi $\frac{T}{6}$.