Dane:

$M=0,5\text{kg}$  

$R=0,05\text{m}$  

$m=0,25\text{kg}$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$a=\text{?}$  

Rozwiązanie:

W tym przypadku naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości przyspieszenia obciążnika. W tym przypadku treść zadania nie precyzuje, czy chodzi o przyspieszenie linowe, czy o przyspieszenie kątowe. Ponieważ w podpunkcie b) naszym zadaniem jest wyznaczenie przyspieszenia kątowego to domyślamy się, że w tym podpunkcie należy wyznaczyć przyspieszenie liniowe. 

Wykonajmy rysunek, na którym zaznaczymy siły działające w układzie:

gdzie:

${\vec{F}}_{c.m}$ - siła ciężkości obciążnika, 

${\vec{F}}_{c.M}$ - siła ciężkości walca, 

${\vec{F}}_N$ - siła naciągu linki, 

$m$ - masa obciążnika, 

$M$ - masa walca, 

$R$ - promień walca. 

Rozważmy z osobna ruch walca, a następnie ruch obciążnika. 

Walec obraca się wokół osi znajdującej się w jego środku. Zauważmy, że siła ciężkości walca jest zaczepiona w jego osi obrotu. Zatem moment siły pochodzący od siły ciężkości walca jest zerowy. 

Wektor siły naciągu linki jest prostopadły do wektora ramienia przyłożenia tej siły względem osi obrotu. Zauważmy ponad to, że ramię tej siły odpowiada co do długości promieniowi tego walca. Oznacza to, że zgodnie z definicją moment siły pochodzący od siły naciągu liny ma wartość:

$M_N=R{F}_N$

gdzie:

$M_N$ - wartość momentu siły pochodzącego od siły naciągu nici, 

$R$ - długość promienia walca odpowiadająca długości ramienia przyłożonej siły, 

$F_N$ - wartość siły naciągu linki. 

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy zauważyć, że:

$M_N=I\epsilon$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności walca, 

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego walca. 

Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać:

$I=\frac{1}{2}M{R}^2$

gdzie:

$M$ - masa walca, 

$R$ - promień walca. 

Wartość przyspieszenia kątowego ciała w zależności od przyspieszenia liniowego ma postać:

$\epsilon =\frac{a}{R}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego w danym punkcie ciała, 

$R$ - promień okręgu, po jakim porusza się rozważany punkt tego ciała.

Z powyższych zależności wynika, że wartość siły naciągu linki możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$M_N=I\epsilon$

$R{F}_N=\frac{1}{2}M{R}^{\cancel{2}}\cdot \frac{a}{\cancel{R}}$

$\cancel{R}{F}_N=\frac{1}{2}M\cancel{R}a$

$F_N=\frac{1}{2}Ma$

Rozważmy teraz ruch postępowy obciążnika. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy, że:

$ma=F_{c.m}-F_N$

gdzie:

$m$ - masa obciążnika, 

$F_{c.m}$ - wartość siły ciężkości obciążnika. 

Wartość siły ciężkości obciążnika możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c.m}=mg$ 

gdzie:

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

Wówczas wartość przyspieszenia liniowego możemy przedstawić wzorem:

$ma=F_{c.m}-F_N$

$ma=mg-\frac{1}{2}Ma|\cdot 2$

$2ma=2mg-Ma|+Ma$

$2ma+Ma=2mg$

$\left(2m+M\right)a=2mg|:\left(2m+M\right)$

$a=\frac{2mg}{2m+M}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a=\frac{2\cdot 0,25\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{2\cdot 0,25\text{kg}+0,5\text{kg}}=$

$=\frac{5\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,5\text{kg}+0,5\text{kg}}=$

$=\frac{5\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{1\cancel{\text{kg}}}=5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia liniowego obciążnika wynosi 5 m/s².

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

$\epsilon =\text{?}$  

Rozwiązanie:

W poprzednim podpunkcie wyprowadziliśmy wyrażenie na wartość przyspieszenia liniowego: 

$a=\frac{2mg}{2m+M}$

Wiemy również, że wartość przyspieszenia kątowego możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$\epsilon =\frac{a}{R}$

Wówczas prawdą jest również, że:

$\epsilon =\frac{\frac{2mg}{2m+M}}{R}$

$\epsilon =\frac{2mg}{\left(2m+M\right)R}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\epsilon =\frac{2\cdot 0,25\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{\left(2\cdot 0,25\text{kg}+0,5\text{kg}\right)\cdot 0,05\text{m}}=$

$=\frac{5\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{\left(0,5\text{kg}+0,5\text{kg}\right)\cdot 0,05\text{m}}=$

$=\frac{5\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{1\cancel{\text{kg}}\cdot 0,05\text{m}}=\frac{5\frac{\cancel{\text{m}}}{{\text{s}}^2}}{0,05\cancel{\text{m}}}=$

$=100\frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia kątowego krążka będzie wynosiła 100 rad/s².

 

$\mathbf{c})$  

Szukane: 

$F_N=?$  

Rozwiązanie:

W poprzednim podpunkcie otrzymaliśmy, że wartość siły napinającej linkę ma postać:

$F_N=\frac{1}{2}Ma$

Wiemy również, że wartość przyspieszenia liniowego wynosi:

$a=\frac{2mg}{2m+M}$

Oznacza to, że otrzymamy wzór:

$F_N=\frac{1}{\cancel{2}}M\cdot \frac{\cancel{2}mg}{2m+M}$

$F_N=\frac{Mmg}{2m+M}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_N=\frac{0,5\text{kg}\cdot 0,25\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{2\cdot 0,25\text{kg}+0,5\text{kg}}=$

$=\frac{1,25{\text{kg}}^2\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{0,5\text{kg}+0,5\text{kg}}=\frac{1,25{\text{kg}}^{\cancel{2}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{1,0\cancel{\text{kg}}}=$

$=1,25\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=1,25\text{N}$

Odpowiedź: Wartość siły napinającej linkę wynosi 1,25 N.

 

$\mathbf{d})$  

Dane (w podpunkcie):

$t=2\text{s}$

Szukane: 

$\omega =?$

$v=?$  

Rozwiązanie: 

Szukamy wartości prędkości kątowej krążka oraz szybkości liniowej punktów na jego obwodzie uzyskanej od chwili rozpoczęcia ruchu. Oznacza to, że wartość prędkości początkowej, zarówno kątowej, jak i liniowej jest zerowa. 

Z poprzednich podpunktów wiemy, że:

$\epsilon =\frac{2mg}{\left(2m+M\right)R}$

$a=\frac{2mg}{2m+M}$

Poprzez analogie do ruchu postępowego, wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością:

$\epsilon =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}$

gdzie:

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego, 

$\Delta \omega$ - zmiana szybkości kątowej ciała, 

$\Delta t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje. 

Zauważmy, że zmiana szybkości kątowej w tym przypadku odpowiada szybkości kątowej osiągniętej przez krążek, a czas w jakim ta zmiana następuje odpowiada czasowi podanemu w treści tego podpunktu. W takim przypadku wartość szybkości kątowej krążka przedstawimy wzorem:

$\frac{\omega }{t}=\epsilon |\cdot t$

$\omega =\epsilon t$

$\omega =\frac{2mg}{\left(2m+M\right)R}\cdot t$

$\omega =\frac{2mgt}{\left(2m+M\right)R}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\omega =\frac{2\cdot 0,25\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^{\cancel{2}}}\cdot 2\cancel{\text{s}}}{\left(2\cdot 0,25\text{kg}+0,5\text{kg}\right)\cdot 0,05\text{m}}=$

$=\frac{10\text{kg}\cdot \frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}}}{\left(0,5\text{kg}+0,5\text{kg}\right)\cdot 0,05\cancel{\text{m}}}=$

$=\frac{10\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{1}{\text{s}}}{1\cancel{\text{kg}}\cdot 0,05}=200\frac{\text{rad}}{\text{s}}$

Wyznaczmy teraz szybkość liniową, jaką osiągnął punkty na obwodzie krążka. Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

gdzie:

$\Delta v$ - zmiana szybkości ciała,

$\Delta t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

Podobnie, jak w przypadku szybkości kątowej zmiana szybkości liniowej będzie odpowiadała szybkości krążka na końcu ruchu, a zmiana czasu odpowiada czasowi, jaki został podany w treści zadania. Oznacza to, że otrzymamy:

$\frac{v}{t}=a|\cdot t$

$v=at$

$v=\frac{2mg}{2m+M}\cdot t$

$v=\frac{2mgt}{2m+M}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\frac{2\cdot 0,25\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^{\cancel{\text{2}}}}\cdot 2\cancel{\text{s}}}{2\cdot 0,25\text{kg}+0,5\text{kg}}=$

$=\frac{10\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}{0,5\text{kg}+0,5\text{kg}}=$

$=\frac{10\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}{1\cancel{\text{kg}}}=10\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Po 2 s ruchu szybkość kątowa krążka wynosi 100 rad/s, a szybkość liniowa punktów na jego obwodzie wynosi 10 m/s.