Tarcza opisana na przykładzie 6.2 wiruje z prędkością kątową...- Zadanie 1: Fizyka 2. Zakres rozszerzony. Wydanie 2020

Rozwiązanie

Dane:

$ω = 4 \frac{rad}{s}$

$m = 4 g = 0, 004 kg$

Z przykładu 6.2 wiemy, że masa i promień tarczy wynosi:

$m_{1} = 1, 6 kg$

$R = 0, 25 m$

Szukane:

$v = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości prędkości, z jaką pocisk powinien uderzyć w tarczą, stycznie do niej, aby ją zatrzymać.

Tarcza wiruje z szybkością kątową $ω$ . Jej moment bezwładności przedstawimy wzorem:

$I_{t} = \frac{1}{2} m_{1} R^{2}$

gdzie:

$I_{t}$ - moment bezwładności tarczy,

$m_{1}$ - masa tarczy,

$R$ - promień tarczy.

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L = I ω$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności ciała poruszającego się względem pewnej osi obrotu,

$ω$ - wartość prędkością kątowej, z jaką porusza się ciało.

Wartość momentu pędu tarczy możemy zatem przedstawić wzorem:

$L_{t} = I_{t} ω$

gdzie:

$L_{t}$ - wartość momentu pędu tarczy,

$ω$ - wartość prędkości kątowej z jaką wiruje tarcza.

Zatem:

$L_{t} = \frac{1}{2} m_{1} R^{2} ω$

Pocisk uderza w tarczę w punkcie na brzegu stycznym do niej, zatem jego moment pędu ma postać:

$L_{p} = R \times p$

gdzie:

$L_{p}$ - moment pędu pocisku,

$R$ - wektor odległości punktu styku od osi obrotu (w tym przypadku promieniem tarczy),

$p$ - pęd pocisku.

Wartość pędu pocisku ma postać:

$p = m v$

gdzie:

$m$ - masa pocisku,

$v$ - wartość prędkości, z jaką pocisk uderza w brzeg tarczy.

Zauważmy, że wektor prędkości, a zatem i pędu jest prostopadły do wektora odległości $R$ . Wówczas wartość momentu pędu pocisku wynosi:

$L_{p} = R p$

$L_{p} = R m v$

Zauważmy również, że zwrot momentu pędu tarczy jest przeciwny do momentu pędu pocisku, a układ ma się zatrzymać po uderzeniu pocisku. Wówczas jego pęd końcowy ma zerową wartość. Zatem zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu otrzymujemy równanie:

$L_{p} - L_{t} = 0 ∣ + L_{t}$